2013中考数学压轴题 菱形问题精选解析（二）.doc

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1、2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(二)例3 已知菱形ABCD的边长为10，对角线BD16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F（1）如图1，求证：PBEPDF；（2）连接PC，当PEPFPC的值最小时，求PB的长；（3）如图2，对角线AC、BD交于点O，以PO为半径的P与以DF为半径的D相切时，求PB的长CABDO备用图CPAFBDOE图2CPAFBDE图1CPAFBDOE图1M解析：（1）证明：四边形ABCD是菱形，ADABABDADB又PEAB，PFAD，PEBPFD90PBEPDF（2）解：如图1，连接AC交BD于O，则ACBD延长

2、FP交BC于M，则FMBCBD平分ABC，PEAB，PMPEPEPFPMPFFMCPAFBDOE图2在RtAOB中，BO BD8，AO 6AC2AO12又S菱形ABCD ACBDBCFM121610FM，即FM （说明PEPF的值不变即可得分，不必求出FM的值）因此，要使PEPFPC的值最小，只要PC取最小值所以当CPBD，即点P与点O重合时，PEPFPC的值最小COAFBDPE图3此时PBBO BD8（3）设PBx，则PDBDPB16xPFAD，在RtPFD中，DFDPcosADB ( 16x )当P与D外切时情形一：如图2，当P点在点O左侧时，POOBPB8x此时PODFPD，( 8x )

3、 ( 16x )16x解得x6，即PB6COAFBDPE图4情形二：如图3，当P点在点O右侧时，POPBOBx8此时PODFPD，( x8 ) ( 16x )16x解得x ，即PB 如图4，当P与D内切时，POPBOBx8PD DF，PODFPD( x8 ) ( 16x )16x，解得，x ，即PB 综上所述，以PO为半径的P与以DF为半径的D相切时，PB的长为6或 或 例4 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1212BEACDMF（1）若CE1，求BC的长；（2）求证：AMDFME解析：（1）解：四边形ABCD是菱形BCCD，1DACDCAACB12，2DCADMCM又MECD，CE1，CD2CE2BCCD212BEACDMFG（2）证明：延长AB和DF相交于点G，F为BC的中点，BC2CF2BFCD2CE，BCCD，CECF在菱形ABCD中，AC平分BCD，又ECMFCM，CMCM，CEMCFMMEMF四边形ABCD是菱形，ABCD，2G又DFCGFB，CFBF，DCFGBFDFGF2G，12，1GAMGMMGGFMF，DFGF，MEMFAMDFME2