公共基础（数理化）精讲班第一章高等(9).doc

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1、第五节矩阵的特色值与特色向量第五节矩阵的特色值与特色向量1 1定义定义设是阶方阵，假设存在数跟维非零向量，使得成破，那么称为的特色值，是对应特色值的特色向量。称行列式为的特色多项式,称为的特色方程，特色方程的根的确是的的特色值；称矩阵为的特色矩阵，以它为系数矩阵的方程组肯定有非零解，它的解的确是对应特色值的特色向量。【例题 11-1】已经清楚 3 维列向量称心，设 3 阶矩阵，那么：(A)是的属于特色值的特色向量(B)是的属于特色值的特色向量(C)是的属于特色值的特色向量(D)是的属于特色值的特色向量解：因，由特色值、特色向量的定义，是的属于特色值的特色向量，故应选(C)。【例题 11-2】设

2、是 3 阶实对称矩阵，是 3 阶可逆矩阵，,已经清楚是的属于特色值的特色向量，那么的属于特色值的特色向量是：(A)(B)(C)(D)解：由是的属于特色值的特色向量，有，而因而向量是矩阵的属于特色值的特色向量，应选(B).2 2要紧结论要紧结论1)设为的特色值，是属于特色值的特色向量，那么矩阵的特色值分不为，且特色向量全然上。2假设是矩阵的互纷歧样的特色值，那么其对应的特色向量肯定是线性有关的。特不地，当是对称阵时，特色向量是正交的。【例题 11-3】已经清楚阶可逆矩阵的特色值为，那么矩阵的特色值是:(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)解：由矩阵特色值的性质，的特色值为，的特色值为，

3、应选(C).【例题 11-4】设为三阶实对称阵的特色值，属于的特色向量为那么属于的特色向量是：(A)BCD解：因为实对称阵，故属于差异特色值的特色向量是正交的，设，那么解方程组，得，故应选 A。该题也可用下面方法求解，记那么而其他选项都不称心谁人条件，应选 A。第六节相似矩阵及矩阵的对角化第六节相似矩阵及矩阵的对角化1 1相似矩阵的不雅念与性质相似矩阵的不雅念与性质1)定义:设、为两个阶方阵，假设存在一个可逆矩阵使得成破，那么称矩阵与相似，记为。并称可逆矩阵为将变为的相似变卦阵。2)性质:假设,那么有为正整数),即相似矩阵有一样的特色值。,即相似矩阵行列式的值相当，从而相似矩阵同时可逆或弗成逆

4、。相似矩阵有一样的秩。【例题 11-4】已经清楚矩阵与相似，那么等于：(A)(B)(C)(D)解：矩阵跟相似，那么有一样的特色值，由解得矩阵的特色值为，故有，应选(A).2 2矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化1定义：设是阶方阵，假设与对角阵相似，那么称可以相似对角化。这时对角阵中对角线上的元素的确是的特色值，而相似变卦阵的列向量的确是的属于对应特色值的特色向量，即有，2要紧结论1阶矩阵可相似对角化的充分需要条件是有个线性有关的特色向量。2假设有个互纷歧样的特色值，那么可相似对角化。【例题 11-5】设三阶方阵的特色值为,它们所对应的特色向量分不为,令,那么()(A);(B);(C);(D)解：

5、方阵有三个互纷歧样的特色值，故能与对角阵相似。为相似变卦阵，与相似的对角阵的对角线元素的确是的特色值,，其摆设次第与特色向量在中的次第一样，应选 A。第七节二次型第七节二次型1 1全然不雅念全然不雅念1)定义：含有个变量的二次齐次函数即每项全然上二次的多项式称为二次型。2)二次型的矩阵表示:假设取，那么，因而二次型可表为。假设记，那么有，称该式为二次型的矩阵表示。这里有，即为对称矩阵，称为二次型的矩阵，称矩阵的秩为二次型的秩，记为。比如：二次型的矩阵。3)公约矩阵:设,为两个阶实对称阵阵,假设存在一个可逆矩阵使得成破,那么称矩阵与公约，记为。【例题 11-6】设，与公约的矩阵是：(A)(B)(

6、C)(D)解：取，那么，而，应选(A)。2 2二次型的标准形跟标准形二次型的标准形跟标准形1定义：假设二次型中只含有变量的平方项，所有混淆项的系数全是零，即如斯的二次型称为标准形。特不地形如标准型，称为二次型的标准形。其中为的秩，为正惯性指数,为负惯性指数。2结论：任一实二次型都可经公约变卦化为标准形,且标准性是独一的。3 3二次型的正定性及正定矩阵二次型的正定性及正定矩阵1)定义：假设实二次型对任意一组不全为零的实数，都有，那么称该二次型为正定二次型，正定二次型的矩阵称为正定矩阵。2要紧结论：1公约变卦不修改二次型的正定性。2)二次型是正定二次型的充分需要条件是：正惯性指数为或的特色值都大年夜于零或的各阶次第主子式大年夜于零。【例题 11-7】要使得二次型为正定的，那么的取值条件是：(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)解：二次型的矩阵为，假设二次型为正定，那么各阶次第主子式必须大年夜于零，由，得；再由，有，即。综上所述，应选 B。