六大基本初等函数图像和性质.doc

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1、1/13六大基本初等函数图像与其性质六大基本初等函数图像与其性质一、一、常值函数（也称常数函数）常值函数（也称常数函数）y y=C=C（其中（其中 C C 为常数）；为常数）；常数函数（Cy）0C0C平行于 x 轴的直线y 轴本身定义域 R R定义域 R R二、二、幂函数幂函数xy，x是自变量，是自变量，是常数；是常数；1.1.幂函数的图像幂函数的图像：2.2.幂函数的性质幂函数的性质；xyOxy 2xy 21xy 1 xy3xy O0yxCy Oxyy2/13性质函数xy 2xy 3xy 21xy 1 xy定义域RRR0,+)x|x0值域R0,+)R0,+)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调

2、性增0,+)增增增(0,+)减(-,0 减(-,0)减公共点（1,1）1）当为正整数时，函数的定义域为区间为),(x，他们的图形都经过原点，并当1 时在原点处与 x 轴相切。且为奇数时，图形关于原点对称；为偶数时图形关于 y 轴对称；2）当为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数；3）当为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0,+），n 为奇数时函数的定义域为（-,+），函数的图形均经过原点和（1,1）；4）如果 mn 图形于 x 轴相切，如果 mn,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟 y 轴对称；m，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当为负有理数时，n 为偶数时，函数

3、的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。三、三、指数函数指数函数xay(x是自变量是自变量,a是常数且是常数且0a，1a)，定义域是，定义域是 R R；无界函数无界函数 1.1.指数函数的图象指数函数的图象：1yO(0,1)xyxay)10(axxay)1(a1yO(0,1)y3/132.2.指数函数的性质指数函数的性质；性质函数xay)1(axay)10(a定义域R值域(0，+)奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0 x时，1y单调性在），（是增函数在），（是减函数1）当1a时函数为 单调增,当10 a时函数为 单调减；2）不论x为何值,y总是正的,

4、图形在x轴上方；3）当0 x时,1y,所以它的 图形通过(0,1)点。3.3.（选，补充）指数函数值的大小比较（选，补充）指数函数值的大小比较*Na；a.底数互为倒数的两个指数函数xaxf)(，xaxf1)(的函数图像关于 y 轴对称。b.1.当1a时，a 值越大，xay 的图像越靠近 y 轴；yxaxf)(xaxf1)(O(0,1)xxO(0,1)yxxf2)(xxh3)(4/13b.2.当10 a时，a 值越大，xay 的图像越远离 y 轴。4.4.指数的运算法则（公式）；指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),0(Qnma；(1)nmnmaaa(2)nmnmaaa(3)mnn

5、mnmaaa(4)nnnbaabb.根式的性质；(1)aann；(2)当 n 为奇数时，aann当 n 为偶数时，)0(0)(a aaaaannc.分数指数幂；(1)1,0(*nZnmaaanmnm(2)1,0(11*nZnmaaaanmnmnm四、四、对数函数对数函数xyalog(a是常数且是常数且1,0aa)，定义域，定义域),0(x 无界无界 1.1.对数的概念对数的概念：如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，就是Nab，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作bNalog,其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子Nalog叫做对数式。对数函数xyalog与指数函数xay

6、 互为反函数，所以xyalog的图象与xay 的图象关于直线xy 对称。2.2.常用对数：常用对数：N10log的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作Nlg。3.3.自然对数自然对数：使用以无理数7182.2e为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数Nelog简O(0,1)yxxq21)(xxg31)(5/13记作Nln。4.4.对数函数的图象：对数函数的图象：5.5.对数函数的性质对数函数的性质；性质函数xyalog)1(axyalog)10(a定义域(0，+)值域R奇偶性非奇非偶公共点过点(1，0)，即1x时，0y单调性在(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数1）对数

7、函数的图形为于 y 轴的右方，并过点(1,0)；2）当1a时，在区间(0,1)，y 的值为负，图形位于 x 的下方；在区间(1,+)，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。1a在实际中很少用到。6.6.（选，补充）对数函数值的大小比较（选，补充）对数函数值的大小比较*Na；a.底数互为倒数的两个对数函数xyalog，xya1log的函数图像关于 x 轴对称。b.1.当1a时，a 值越大，xxfalog)(的图像越靠近 x 轴；yOx(1,0)1xxyalog)1(aOx(1,0)y1xxyalog)10(ayOx(1,0)xyalogxya1logyOx(1,0)xxf2log

8、)(xxf3log)(y6/13b.2.当)10(a时，a 值越大，xxfalog)(的图像越远离 x 轴。7.7.对数的运算法则（公式）；对数的运算法则（公式）；a.如果 a0，a1，M0，N0，那么：NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglogb.对数恒等式：NaNalog)010(Naa，且c.换底公式：(1)bNNaablogloglog（1,0aa，一般常常换为e或10为底的对数,即bNNblnlnlog或bNNblglglog）(2)由公式和运算性质推倒的结论：bmnbananloglogd.对数运算性质(1)1 的对数是零，即01log

9、a；同理01ln 或01lg(2)底数的对数等于 1，即1logaa；同理1lne或110lg五、五、三角函数三角函数1.1.正弦函数正弦函数xysin,有界函数，定义域有界函数，定义域),(x，值域，值域 1,1y图象：五点作图法：0，2，23，27/132.2.余弦函数余弦函数xycos，有界函数，定义域，有界函数，定义域),(x，值域，值域 1,1y图象：五点作图法：0，2，23，23.3.正、余弦函数的性质；正、余弦函数的性质；性质函数xysin)(Zk xycos)(Zk 定义域R值域-1,1-1,1奇偶性奇函数偶函数周期性2T2T对称中心)0,(k)0,2(k对称轴2 kxkx 单

10、调性在22,22kkx上是增函数在232,22kkx上是减函数在kkx2,2上是增函数在kkx2,2上是减函数最值22 kx时，1maxy22 kx时，1minykx2时，1maxy kx2时，1miny4.4.正切函数正切函数xytan，无界函数，定义域，无界函数，定义域)(,2Zkkxx，值域，值域),(y2O23225223225yx8/13xytan的图像5.5.余切函数余切函数xycot，无界函数，定义域，无界函数，定义域Zkkxx,),(yxycot的图像6.6.正、余切函数的性质；正、余切函数的性质；性质函数xytan)(Zk xycot)(Zk 定义域2 kxkx 值域R RR

11、 R奇偶性奇函数奇函数周期性TT单调性在)2,2(kk上都是增函数在)1(,(kk上都是减函数对称中心)0,2(k)0,2(k零点)0,(k)0,2(k7.7.正割函数正割函数xysec，无界函数，定义域，无界函数，定义域)(,2Zkkxx，值域，值域1secx2O2322532232253yx2O232252232253yx-119/138.8.余割函数余割函数xxysin1csc，无界函数，定义域，无界函数，定义域)(,Zkkxx，值域，值域1cscx9.9.正、余割函数的性质；正、余割函数的性质；性质函数xysec)(Zk xycsc)(Zk 定义域kxx2kxx值域),1 1(，),1

12、 1(，奇偶性偶函数奇函数周期性2T2T单调性)232,2()2,22(kkkk减)2,22()22,2(kkkk增)22,232()22,2(kkkk减)232,2()2,22(kkkk增续表：性质函数xysec)(Zk xycsc)(Zk 对称中心)0,2(k)0,(k2O232252232253yx-11xysec的图像xycsc的图像10/13对称轴kx kx2渐近线kx2kx 六、六、反三角函数反三角函数1.1.反正弦函数反正弦函数xyarcsin，无界函数，定义域，无界函数，定义域-1,1-1,1，值域，值域,0A.A.反正弦函数的概念：反正弦函数的概念：正弦函数xysin在区间2

13、,2上的反函数称为反正弦函数，记为xyarcsin2.2.反余弦弦函数反余弦弦函数xyarccos，无界函数，定义域，无界函数，定义域-1,1-1,1，值域，值域,0B.B.反余弦函数的概念：反余弦函数的概念：余弦函数xycos在区间,0上的反函数称为反余弦函数，记为xyarccosxyarcsin的图像xyarccos的图像3.3.反正、余弦函数的性质；反正、余弦函数的性质；性质函数xyarcsinxyarccos定义域-1,1-1,1值域,0,0奇偶性奇函数非奇非偶函数单调性增函数减函数4.4.反正切函数反正切函数xyarctan，有界函数，定义域，有界函数，定义域),(x,值域值域2,2

14、C.C.反正切函数的概念：反正切函数的概念：正切函数xytan在区间2,2上的反函数称为反正切函数，记为Oxy1-122Oxy1-1211/13xyarctan5.5.反余切函数反余切函数xarcycot，有界函数，定义域，有界函数，定义域),(x,值域值域,0D.D.反余切函数的概念：反余切函数的概念：余切函数xycot在区间,0上的反函数称为反余切函数，记为xarcycotxyarctan的图像xarcycot的图像6.6.反正、余弦函数的性质；反正、余弦函数的性质；函数性质xyarctanxarcycot定义域R值域2,2,0奇偶性奇函数非奇非偶单调性增函数减函数三角函数公式汇总三角函数

15、公式汇总一、任意角的三角函数一、任意角的三角函数xyO22xyO212/13在角的终边上任取一点),(yxP，记：22yxr。正弦：rysin余弦：rxcos正切：xytan余切：yxcot正割：xrsec余割：yrcsc二、同角三角函数的基本关系式二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan商数关系：cossintan，sincoscot平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1三、三、诱导公式诱导公式x轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；y轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。四、和角公式和差角公式四、和角公式和差角公

16、式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(五、二倍角公式五、二倍角公式cossin22sin2tan1tan22tan2222sin211cos2sincos2cos二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）2cos22cos12sin22cos12)cos(sin2sin12)cos(sin2sin122cos1cos2，22sin1sin2，2cos12sin2sin2cos1tan六、三倍角公式六、三倍角公式)

17、3sin()3sin(sin4sin4sin33sin313/13)3cos()3cos(cos4cos3cos43cos3)3tan()3tan(tantan31tantan33tan23七、和差化积公式七、和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos八、辅助角公式八、辅助角公式)sin(cossin22xbaxbxa其中：角的终边所在的象限与点),(ba所在的象限一样，22sinbab，22cosbaa，abtan九、九、三角函数的周期公式三角函数的周期公式函数)sin(xAy，Rx与函数)cos(xAy，Rx(A,为常数，且0,0A)周期：2T函数)tan(xAy，Zkkx,2(A,为常数，且0,0A)周期：T十、正弦定理十、正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为ABC外接圆半径）十一、余弦定理十一、余弦定理Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222