2021年高考数学总复习-提能拔高限时训练：平面、空间直线(练习+详细解析)大纲人教版2.doc

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1、提能拔高限时训练提能拔高限时训练 3939 平面、空间直线平面、空间直线一、选择题1.以下推理错误的选项是()A.Al,A,Bl,BlB.A,A,B,B=ABC.A、B、C,A、B、C,且 A、B、C 不共线与重合D.l,AlA解析解析：A、B、C 分别是公理 1、2、3 的符号表示,应选 D.对于 D,l有两种可能,l,l 与相交;假设交点为 A,那么 Al 且 A.答案：答案：D2.假设 a、b 是两条异面直线,且分别在平面、内,假设=l,那么直线 l 必定()A.分别与 a、b 相交B.至少与 a、b 之一相交C.与 a、b 都不相交D.至多与 a、b 之一相交解析解析:(反证法)如果选

2、项 B 不对,那么 l 与 a、b 都不相交,由于 l 与 a、b 共面,那么 la,同理,lb,从而 ab,这与 a、b 是异面直线矛盾.答案答案:B3.假设 3 个平面将空间分成 n 局部,那么 n 的值为()A.4B.4 或 6C.4 或 6 或 7D.4 或 6 或 7 或 8解析：解析：假设 3 个平面平行,那么将平面分成 4 局部;假设 3 个平面交于一条直线,将空间分成 6局部;假设 3 个平面两两相交有三条交线,当交线互相平行时,将空间分成 7 局部,三条交线交于一点时,将空间分成 8 局部.答案：答案：D4.假设 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,那么()A.过点 P

3、 有且仅有一条直线与 l、m 都平行B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面解析：解析：对于 A,假设存在直线 n,使,/,/mnln那么有 lm,与 l、m 异面矛盾;对于 C,过点 P 与 m、l 都相交的直线不一定存在,反例如图;对于 D,过点 P 与 l、m 都异面的直线不唯一.答案：答案：B5.如图,正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,那么异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为()A.51B.52C.53D.54解析：解析：连结 BC1,那么 A1B 与 B

4、C1所成的角即为所求.在A1BC1中,设 AB=a,那么 A1B=BC1=a5,A1C1=a2,cosA1BC1=542112112121BCBACABCBA.答案：答案：D6.一个正方体纸盒展开后如下图,在原正方体纸盒中有以下结论:ABEF;AB 与 CM 成 60角;EF 与 MN 是异面直线;MNCD.其中正确的选项是()A.B.C.D.解析解析：将其复原成正方体,如下图,ABEF,EF与MN是异面直线,ABCM,MNCD.只有正确,应选 D.答案：答案：D7.正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为 1,侧棱长为2,那么这个棱柱的侧面对角线E1D 与 BC1所成的角是

5、A.90B.60C.45D.30解析解析：连结 E1F、DF,那么由正六棱柱相关性质,得 FE1BC1,在EFD 中,EF=FD=1,FED=120,FD=3.在 RtEFE1和 RtEE1D 中,易得 E1F=ED=3,E1FD 是等边三角形.FE1D=60.BC1与 DE1所成的角为 60.答案：答案：B8.正方体 ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R 分别为 AB、AD、B1C1的中点,那么正方体过 P、Q、R 点的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析：解析：设 D1C1、D1D、BB1的中点分别为 S、M、N,SRQP,S、R、Q、P 四点共面,记为平面.QMS

6、P,Q、M、S、P 四点共面,记为平面.又、都经过点 Q、P、S,与重合,即 M.同理可证 N.正方体过 P、Q、R 的截面为六边形.答案：答案：D9.正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,那么 AE、SD 所成的角的余弦值为A.31B.32C.33D.32解析：解析：如图,设侧棱长与底面边长均为 a,AE、SD 所成的角就是AEO,在AEO 中,cosAEO=3323244322222222aaaaOEAEOAOEAE.答案：答案：C10.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E、F 分别为棱 AA1、CC1的中点,那么在空间中与三条直线 A1D1、EF、CD

7、 都相交的直线A.不存在B.有且只有两条C.有有只有三条D.有无数条解析：解析：如图,因为点 D、C、D1、F 四点共面,所以过点 D1、F 且与直线 CD 相交的直线有一条.同样,过点 D、E 与 A1D1相交的直线也有一条;此外直线 AC1、A1C 等也与 A1D1、EF、CD 三条直线都相交,其他还有很多类似的直线.答案：答案：D二、填空题11.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,(1)那么四边形 EFGH 是_;(2)假设 ACBD,那么四边形 EFGH 是_;(3)假设 AC=BD,那么四边形 EFGH 是_;(4)假 设 四 边 形E

8、FGH是 正 方 形,那 么 空 间 四 边 形 中,必 须 有_;(5)假设 AC 与 BD 成 60角,且 AC=BD=a,那么 EG 的长为_.解析：解析：(1)E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,EFAC 且 EF=21AC,GHAC 且 GH=21AC.EFGH 且 EF=GH.四边形 EFGH 是平行四边形.(2)假设 ACBD,那么 EFFG.四边形 EFGH 是矩形.(3)假设 AC=BD,那么 EF=FG.四边形 EFGH 是菱形.(4)假设四边形 EFGH 是正方形,那么它同时满足矩形和菱形的性质,空间四边形中,必须有 ACBD 且 AC=BD.(5)

9、由 AC=BD=a,知 EF=FG=2a.由 AC 与 BD 成 60角,EFG=60或 120.EG=2a或23a.答案：答案：(1)平行四边形(2)矩形(3)菱形(4)ACBD 且 AC=BD(5)2a或23a12.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 为 BC 的中点,那么直线 D1M 与平面 ABCD 所成角的正切值为_,异面直线 DC 与 D1M 所成角的余弦值为_.解析解析:连结 DM,DD1平面 ABCD,D1MD 即为 D1M 与平面 ABCD 所成的角.设正方体棱长为 a,那么DM=25)21(22BCDCa,tanD1MD=552251aaDMDD,即 D1M 与平

10、面 ABCD 所成的角的正切值为552.连结 MC1,DCD1C1,D1M 与 DC 所成的角即为 D1M 与 D1C1所成的角,即MD1C1.MC1=25a,D1C1=a,D1M=23a.cosC1D1M=,3223111aaMDCD即 D1M 与 DC 所成角的余弦值为32.答案答案:5523213.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 CABD 的余弦值为33,M、N 分别是AC、BC 的中点,那么 EM、AN 所成角的余弦值等于_.解析解析：如图,设 AB=a,那么ABC 的边长与正方形 ABDE 的边长都是 a,取 DE 的中点 F,分别连结MN、NF、C

11、F、AF,因为 M、N 分别为 AC、BC 的中点,所以 MN21AB=EF.所以四边形 MNFE 为平行四边形.所以 FNEM.所以ANF 是 AN 与 EM 所成的角.因为 AN=23a,在 RtAEF 中,AF=aaa25)21(22,取 AB 的中点 G,连结 GF、CG,那么 CGAB,GFAB,所以CGF 是二面角 CABD 的平面角,cosCGF=33.又 CG=23a,GF=a,所以 CF2=CG2+GF2-2CGGF33=43a2.所以 CF=23a.由图形的对称性,可知 CE=CD,所以 CFDE.所以 CE2=CF2+EF2=a2.所以 CE=AE=a.所以 EMAC.又

12、 AM=21a,所以 EM=23a=FN.在ANF 中,cosANF=612222FNANAFFNAN.答案：答案：61三、解答题14.正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 D1C1、C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D、B、F、E 四点共面;(2)假设 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,那么 P、Q、R 三点共线.证明：如右图:(1)EF 是D1B1C1的中位线,EFB1D1.在正方体 AC1中,B1D1BD,EFBD,EF、BD 确定一个平面,即 D、B、F、E 四点共面.(2)正方体 AC1中,设 A1ACC1确定的平面为,平面 BDEF 为.

13、QA1C1,Q.又 QEF,Q.那么 Q 点是与的公共点,同理,P 点也是与的公共点,=PQ.又 A1C=R,RA1C.R且 R,那么 RPQ.故 P、Q、R 三点共线.15.如右图,矩形 ABCD,PA平面 ABCD,点 M 和 N 分别是线段 AB 和 PC 的中点.(1)证明 MNCD;(2)假设 MN 是异面直线 PC 与 AB 的公垂线,求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小.(1)证明:设 AC 与 BD 交于点 O,连结 NO.N 是 PC 的中点,O 是 AC 的中点,NOPA.又 PA平面 AC,NO平面 AC.MN 在平面 ABCD 内的射影是 MO.又 MOCD,由三垂

14、线定理,知 MNCD.(2)解：由 MOBC,知NMO 即为 MN 与 BC 所成的角.NM 是 PC 与 AB 的公垂线,MNPC.又 PN=NC,MP=MC.PA2=PM2-MA2=CM2-MB2=BC2,即 PA=BC.NO=21PA=21BC.在 RtMON 中,tanNMO=BCBCMONO2121=1.NMO=45,即 MN 与 BC 所成的角为 45.教学参考例题教学参考例题志鸿优化系列丛书志鸿优化系列丛书【例 1】正四面体 PABC 中,M 为棱 AB 的中点,那么 PA 与 CM 所成角的余弦值为A.23B.63C.43D.33解析解析:方法一:取 PB 的中点 E,连结 C

15、E、EM,那么EMC 为 PA 与 CM 所成的角,令正四面体的棱长为 2,那么 CM=CE=3,EM=1,cosEMC=EMCMCEEMCM2222=63.方 法 二:(坐 标 法)如 图,建 立 空 间 直 角 坐 标 系,设 正 方 体 的 棱 长 为 2,那 么A(2,0,0),B(0,2,0),P(2,2,2),C(0,0,2),M(1,1,0),=(1,1,-2),=(0,-2,-2),cos,=63.答案：答案：B【例 2】正方体 ABCDABCD中,棱长为 1,E、F 分别是 BC、CD 上的点,且 BE=CF=a(0a1),那么 DE 与 BF 的位置关系是A.平行B.垂直C

16、.相交D.与 a 值有关解析解析:方法一:如图,连结 AB,AB,AF,DE 易知 AB 是 DE 在平面 ABBA上的射影.ABAB,DEAB.又由 BE=CF,知 EC=FD,而 AD=CD,RtDCERtADF.EDC=FAD.而EDC+EDA=90,FAD+EDA=90.从而 AFDE.又易知 DE 是 DE 在底面 ABCD 上的射影,DEAF.综上,知 DE平面 ABF,从而 DEBF.方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,那么D(0,0,1),E(1-a,1,0),B(1,1,1),F(0,1-a,0),=(1-a,1,-1),=(-1,-a,-1).=(1-a)(-1)+1(-

17、a)+(-1)(-1)=a-1-a+1=0.,即 DEBF.答案答案：B【例 3】如 图,直 三 棱 柱 ABCA1B1C1的 侧 棱 长 为 2,底 面 ABC 是 等 腰 直 角 三 角形,ACB=90,AC=2,D、E 分别是 AA1、AB 的中点.(1)求异面直线 A1B1和 C1D 所成的角;(2)求证:A1EC1D.(1)解：取 CC1的中点 F,连结 AF,那么 AFC1D.又 A1B1AB,所以BAF 为异面直线 A1B1和 C1D 所成的角.又 AC=2,AA1=2,AB=22,AF=5,在 RtAEF 中,又 cosBAF=52=510,所以BAF=arccos510,即异面直线 A1B1和 C1D 所成的角为 arccos510.(2)证明:取 A1B1、BB1的中点 M、N,连结 C1M,DM,EN,A1N,又直三棱柱 ABCA1B1C1的底面ABC 是等腰直角三角形,所以 C1MA1B1,那么有 C1M平面 A1B1BA.所以 DM 即为 C1D 在平面 A1B1BA 上的射影.又在NEA1中,NE=3,EA1=6,NA1=3,可知NEA1为直角三角形,且A1EN=90,即 A1ENE.又 NEDM,所以 A1EDM.由三垂线定理,知 A1EC1D.