中考数学专题复习题4 韦达定理应用探讨2精选.doc

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1、【20132013 年中考攻略】专题年中考攻略】专题 4 4：韦达定理应用探讨：韦达定理应用探讨韦达，1540 年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。韦达定理说的是：设一元二次方程2ax+bx+c=0 a0有二实数根12xx，则1212bcx+x=xx=aa，。这两个式子反映了

2、一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a，b，c 的关系。其逆命题：如果12xx，满足1212bcx+x=xx=aa，那么12xx，是一元二次方程2ax+bx+c=0 a0的两个根也成立。韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b4ac0。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：不解方程求方程的两根和与两根积；求对称代数式的值；构造一元二次方程；求方程中待定系数的值；在平面几何中的应用；在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一一、不解方程求方程的两根和与两根积不解方

3、程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。典型例题：典型例题：例 1：（20122012 湖北武汉湖北武汉 3 3 分）分）若 x1、x2是一元二次方程 x23x20 的两根，则 x1x2的值是【】A2B2C3D1【答案】【答案】C。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1x23。故选 C。例 2：（20012001 湖 北武 汉湖 北武 汉 3 3 分分）若 x1、x2是一 元二次 方程 x24x30 的两 个根，则 x1x2的值是【】A.4.B.3.C.4.D.3.【答案】【答案】B。【考

4、点】【考点】一元二次 方程根与系数 的关系。【分析】【分析】根据一元 二次方程的根 与系数的关系，得12c3xx=3a1。故选 B。例 3：（20122012 山东烟台山东烟台 3 3 分）分）下列一元二次方程两实数根和为4 的是【】Ax2+2x4=0Bx24x+4=0Cx2+4x+10=0Dx2+4x5=0【答案】【答案】D。【考点】【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为4，必须方程根的判别式=b24ac0，且 x1+x2=ba=4。据此逐一作出判断：Ax2+2x4=0：=b24ac=200，x1+x

5、2=ba=2，所以本选项不合题意；Bx24x+4=0：=b24ac=0，x1+x2=ba=4，所以本选项不合题意；Cx2+4x+10=0：=b24ac=280，方程无实数根，所以本选项不合题意；Dx2+4x5=0：b24ac=360，x1+x2=ba=4，所以本选项符号题意。故选 D。例 4：（20122012 广西来宾广西来宾 3 3 分分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 的一个实数根为 1，那么它的另一个实数根是【】A2B0C1D2【答案】【答案】A。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】【分析】设方程的另一个实数根为 x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得

6、 x1=1，解得 x=2。故选 A。练习题：练习题：1.（20072007 重庆市重庆市 3 3 分）分）已知一元二次方程22x3x10 的两根为 x1、x2，则 x1+x2=。2.（20052005 浙江湖州浙江湖州 3 3 分）分）已知一元二次方程2x12x70的两个根为 x1、x2，则 x1+x2的值是【】A12B12C7D73.（20112011 广西来宾广西来宾 3 3 分分）已知一元二次方程 x2+mx2=0 的两个实数根分别为 x1、x2，则 x1x2=4.（20112011 湖北湖北咸宁咸宁 3 3 分）分）若关于x的方程022mxx的一个根为1，则另一个根为【】A3B1C1D

7、35.（20112011 云南昆明云南昆明 3 3 分分）若 x1，x2是一元二次方程 2x27x+4=0 的两根，则 x1+x2与 x1x2的值分别是【】A、72，2B、72，2C、72，2D、72，2二二、求对称代数式的值求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（f xy=f yx，），则称这个代数式为完全对称式，如2211x+y+xy，等。扩展后，可以视xy中x与y对称。典型例题：典型例题：例 1：（20122012 四川攀枝花四川攀枝花 3 3 分）分）已知一元二次方程：x23x1=0 的

8、两个根分别是 x1、x2，则 x12x2+x1x22的值为【】A 3B 3C 6D 6【答案】【答案】A。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。【分析】【分析】由一元二次方程：x23x1=0 的两个根分别是 x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=1，x12x2x1x22=x1x2（x1x2）=（1）3=3。故选 A。例 2：（20122012 山东莱芜山东莱芜 3 3 分分）已知 m、n 是方程 x22 2x10 的两根，则代数式 m2n23mn的值为【】A9B3C3D5【答案】【答案】C。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数

9、式的值。【分析】【分析】m、n 是方程 x22 2x10 的两根，mn=2 2，mn=1。2222m+n+3mn=m+n+mn=2 2+1=8+1=9=3。故选 C。例 3：（20122012 江苏江苏南通南通 3 3 分）分）设 m、n 是一元二次方程 x23x70 的两个根，则 m24mn【答案】【答案】4。【考点】【考点】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。【分析】【分析】m、n 是一元二次方程 x23x70 的两个根，m23 m70，即 m23 m7；mn3。m24mn（m23 m）（mn）734。例 4：（20122012 湖北鄂州湖北鄂州 3 3 分分）设

10、x1、x2是一元二次方程 x25x3=0 的两个实根，且21222x(x6x3)a4，则 a=.【答案】【答案】10。【考点】【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。【分析】【分析】x1、x2是一元二次方程 x25x3=0 的两个实根，x225x23=0，x1x2=3。又21222x(x6x3)a4，即212222x(x5x3x)a4，即122x(0 x)a4。122x xa4，即23a4，解得 a=10。练习题：练习题：1.（20122012 湖南张家界湖南张家界 3 3 分）分）已知 m 和 n 是方程 2x25x3=0 的两根，则11+mn=2.（20122012 四川四川泸州泸州 3

11、 3 分）分）设 x1，x2是一元二次方程 x2 3x 1=0 的两个实数根，则221212xx4x x的值为3.（20122012 山东日照山东日照 4 4 分分）已知 x1、x2是方程 2x2+14x16=0 的两实数根，那么2112xxxx的值为.4.（20122012 黑龙江绥化黑龙江绥化 3 3 分）分）设 a，b 是方程 x2x2013=0 的两个不相等的实数根，则 a22ab 的值为5.（20122012 黑龙江大庆黑龙江大庆 4 4 分）分）若方程2xx10 的两实根为a、b，求11ab的值6.（20112011 湖北荆州、湖北荆州、荆门荆门 3 3 分）分）关于x的方程2ax

12、(3a1)x2(a1)0有两个不相等的实根1x、2x，且有1122xx xx1a，则a的值是【】A.1B.1C.1或1D.27.（20112011 贵州黔东南贵州黔东南 4 4 分）分）若a、b是一元二次方程2x2011x10 的两根，则11ab的值为【】A、2010B、2011C、20101D、201118.（20112011 江苏苏州江苏苏州 3 3 分）分）已知a、b是一元二次方程2x2x10 的两个实数根，则代数式abab2ab的值等于9.（20112011 山东山东德州德州 4 4 分分）若 x1，x2是方程 x2+x1=0 的两个根，则 x12+x22=10.（20112011 广

13、西玉林、防城港广西玉林、防城港 6 6 分）分）已知：1x、2x是一元二次方程2x4x10 的两个实数根求：2121211(xx)()xx的值三三、构造一元二次方程构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。典型例题：典型例题：例 1：（20122012 湖北随州湖北随州 4 4 分）分）设242a2a10b2b10 ，且 1ab20，则522ab+b3a+1a=.例 2：（20122012 四川四川内江内江 1212 分分）如果方程20 xpxq的两个根是12,xx，那么1212,.,xxp x xq 请

14、根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程20,(0),xmxnn求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足221550,1550aabb,求abba的值；（3）已知a、b、c满足0,16abcabc求正数c的最小值。【答案】【答案】解：（1）设关于x的方程20,(0)xmxnn的两根为12,xx，则有：1212,.xxm x xn，且由已知所求方程的两根为1211,xx12121211xxmxxx xn，12121111xxx xn。所求方程为210mxxnn，即210(0)nxmxn。（2）a、b满足221550,1550aabb，a、b是方程

15、21550 xx的两根。15,5abab。2222221522475abababababbaababab。（3）0,16abcabc且0c 16,abc abc。a、b是一元二次方程21600 xc xcc 的两个根，代简，得221600cxc xc。又此方程必有实数根，此方程的0，即224160cc ，3340c c。又0c 3340c。4c。正数c的最小值为 4。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。【分析【分析】（1）设方程20,(0)xmxnn的两根为12,xx，得出1211mxxn，12111xxn，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数

16、，即可求出答案。（2）根据a、b满足221550,1550aabb，得出a、b是一元二次方程21550 xx的两个根，由15,5abab，即可求出abba的值。（3）根据0,16abcabc，得出16,abc abc，a、b是一元二次方程22160cxc x的两个根，再根据0，即可求出c的最小值。例 3：（20122012 四川宜宾四川宜宾 8 8 分分）某市政府为落实“保障性住房政策，2011 年已投入 3 亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到 2013 年底，将累计投入 10.5 亿元资金用于保障性住房建设（1）求到 2013 年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列

17、出方程）；（2）设（1）中方程的两根分别为 x1，x2，且 mx124m2x1x2+mx22的值为 12，求 m 的值【答案】【答案】解：（1）设到 2013 年底，这两年中投入资金的平均年增长率为 x，根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5。（2）由（1）得，x2+3x0.5=0，由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=0.5。又mx124m2x1x2+mx22=12 即 m（x1+x2）22x1x24m2x1x2=12，即 m9+14m2（0.5）=12，即 m2+5m6=0，解得，m=6 或 m=1。【考点】【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程根与系

18、数的关系。【分析】【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：2011 年、2011 年和 2013 某市用于保障房建设资金总量=10.5 亿元，把相关数值代入求得合适的解即可。（2）由（1）得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于 m 的一元二次方程，解之即得m 的值。例 4：（20122012 贵州黔西南贵州黔西南 1414 分）分）问题：已知方程2x+x1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍。解：设所求方程的根为 y，则 y=2x，所以yx=2把yx=2代入已知方程，得2yy+1=022化简，得：2y+2y4=0故所求方程为

19、2y+2y4=0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）（1）已知方程2x+x2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：；（2）已知关于 x 的一元二次方程2ax+bx+c=0 a0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数。【答案】【答案】解：（1）y2y2=0。（2）设所求方程的根为 y，则1yx（x0），于是1xy（y0）。把1xy代入方程2ax+bx+c=0，得211a+b+c=0yy，去分母，得 a+by+cy2=0。若 c=0，有2ax+

20、bx=0，可得有一个解为 x=0，与已知不符，不符合题意。c0。所求方程为 cy2+by+a=0（c0）。【考点】【考点】一元二次方程的应用。【分析【分析】（1）设所求方程的根为 y，则 y=x 所以 x=y。把 x=y 代入已知方程，得 y2y2=0。（2）根据所给的材料，设所求方程的根为 y，再表示出 x，代入原方程，整理即得出所求的方程。练习题：练习题：1.（20042004 辽宁沈阳辽宁沈阳 2 2 分分）请你写出一个二次项系数为 1，两实数根之和为 3 的一元二次方程：.2.（2002005 5 山东临山东临沂沂 3 3 分分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且其两根

21、互为倒数.3.（20022002 浙江杭州浙江杭州 1010 分）分）已知某二次项系数为 1 的一元二次方程的两个实数根为 p、q，且满足关系式22pq p15p qpq6，试求这个一元二次方程4.（20072007 江苏淮安江苏淮安 3 3 分）分）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：.四四、求方程中待定系数的值求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。典型例题：典型例题：例 1：（20122012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 3 分）分）如果关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相

22、等实数根 x1，x2满足 x1x22x12x25=0，那么 a 的值为【】A3B3C13D13【答案】【答案】B。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】【分析】x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等实数根，x1+x2=4，x1x2=a。x1x22x12x25=x1x22（x1+x2）5=a2（4）5=0，即 a+3=0，解得，a=3。故选 B。例 2：（20122012 湖南株洲湖南株洲 3 3 分分）已知关于 x 的一元二次方程 x2bx+c=0 的两根分别为 x1=1，x2=2，则 b 与c 的值分别为【】Ab=1，c=2Bb=1，c=2Cb=

23、1，c=2Db=1，c=2【答案】【答案】D。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】【分析】关于 x 的一元二次方程 x2bx+c=0 的两根分别为 x1=1，x2=2，x1+x2=b=1+（2）=1，x1x2=c=1（2）=2。b=1，c=2。故选 D。例 3：（20122012 内蒙古呼和浩特内蒙古呼和浩特 3 3 分分）已知：x1，x2是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根，且 x1+x2=3，x1x2=1，则 a、b 的值分别是【】Aa=3，b=1Ba=3，b=1C3a=2，b=1D3a=2，b=1【答案】【答案】D。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分

24、析】【分析】x1，x2是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根，x1+x2=2a，x1x2=b，x1+x2=3，x1x2=1，2a=3，b=1，解得3a=2，b=1。故选 D。例 4：（20122012 内蒙古包头内蒙古包头 3 3 分分）关于 x 的一元二次方程2xmx+5 m5=0的两个正实数根分别为 x1，x2，且 2x1+x2=7，则 m 的值是【】A.2B.6C.2 或 6D.7【答案】【答案】B。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。【分析】【分析】方程2xmx+5 m5=0有两个正实数根，1212x+x=m0m5xx=5 m50。又2x1+x2=

25、7，x1=7m。将 x1=7m 代入方程2xmx+5 m5=0，得27mm 7m+5 m5=0。解得 m=2 或 m=6。m5，m=6。故选 B。例 5：（20122012 山东威海山东威海 3 3 分）分）若关于 x 的方程22x+a1 x+a=0的两根互为倒数，则 a=.【答案】【答案】1。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数。【分析】【分析】关于 x 的方程22x+a1 x+a=0的两根互为倒数，设两根为 x 和1x。则根据一元二次方程根与系数的关系，得21x+=1ax1x=ax。由21x=ax得a=1。但当a=1时，1x+=1ax无意义。a=1。例 6：（20122012

26、湖北孝感湖北孝感 1212 分）分）已知关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10(1)求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若 x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|22，求 m 的值和此时方程的两根【答案】【答案】解：（1）证明：由关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10 得=（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4，无论 m 取何值，（m+1）24 恒大于 0，原方程总有两个不相等的实数根。（2）x1，x2是原方程的两根，x1+x2=（m+3），x1x2=m+1。|x1x2|22，（x1x2）2=8，即（x1x2）24x1x2=8。（m+3）24（m+

27、1）=8，即 m22m3=0。解得：m1=3，m2=1。当 m=3 时，原方程化为：x22=0，解得：x1=2，x2=2。当 m=1 时，原方程化为：x24x2=0，解得：x1=2+2，x2=22。【考点】【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析【分析】（1）根据关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10 的根的判别式=b24ac 的符号来判定该方程的根的情况。（2）根据根与系数的关系求得 x1x2和 x1x2，由已知条件|x1x2|22平方后可以得到关于 x1x2和 x1x2的等式，从而列出关于 m 的方程，通过解该方程即可求得 m 的值，最后将 m 值代入原方程并解方程。

28、例 7：（20122012 湖南怀化湖南怀化 1010 分）分）已知12x,x是一元二次方程2(a6)x2axa0的两个实数根.（1）是否存在实数 a，使1122xx x4x成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使12(x1)(x1)为负整数的实数 a 的整数值.【答案】【答案】解：（1）成立。12x,x是一元二次方程2(a6)x2axa0的两个实数根，由根与系数的关系可知，1212a2ax xxxa6a6，；一元二次方程2(a6)x2axa0有两个实数根，=4a24（a6）a0，且 a-60，解得，a0，且 a6。由1122xx x4x得1212x x4xx，即a2a

29、4a6a6。解得，a=240，且 a60。存在实数 a，使1122xx x4x成立，a 的值是 24。（2）121212a2a6(x1)(x1)=x xxx1=1=a6a6a6，当12(x1)(x1)为负整数时，a60，且 a6 是 6 的约数。a6=6，a6=3，a6=2，a6=1。a=12，9，8，7。使12(x1)(x1)为负整数的实数 a 的整数值有 12，9，8，7。【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。【分析【分析】根据根与系数的关系求得1212a2ax xxxa6a6，；根据一元二次方程的根的判别式求得 a的取值范围。（1）将已知等式变形为 x1x2

30、=4+（x2+x1），即a2a4a6a6，通过解该关于 a 的方程即可求得 a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得 a 的取值范围，然后在取值范围内取 a 的整数值。例 8：（20112011 四川四川南充南充 8 8 分）分）关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1和 x2（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数，求 k 的值【答案】【答案】解：（1）方程有实数根，=224（k+1）0，解得 k0。k 的取值范围是 k0。（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=2，x1x2=k+1，x1+x2x

31、1x2=2（k+1）。由2（k+1）1，解得 k2。又由（1）k0，2k0。k 为整数，k 的值为1 和 0。【考点】【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。【分析【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实数 k 的取值范围。（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=2，x1x2=k+1再代入所给不等式即可求得 k的取值范围，然后根据 k 为整数，求出 k 的值。例 9：练习题：练习题：1.（20112011 湖南株洲湖南株洲 3 3 分分）孔明同学在解一元二次方程2x3xc0时，正确解得1x1，2x2，则c的值为2.（20112

32、011 湖北孝感湖北孝感 1010 分分）已知关于 x 的方程222(k10 x)xk有两个实数根 x1，x2，（1）求k的取值范围；（2）若1212xxxx1，求k的值。3.（20122012 湖北鄂州湖北鄂州 8 8 分）分）关于 x 的一元二次方程22x(m3)xm0。（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为 x1，x2，且x1=x22，求 m 的值及方程的根。4.（20122012 四川四川南充南充 8 8 分）分）关于 x 的一元二次方程 x23xm1=0 的两个实数根分别为 x1,x2。（1）求 m 的取值范围；（2）若 2（x1+x2）+x1x2+1

33、0=0求 m 的值。5.（20112011 四川四川达州达州 3 3 分分）已知关于 x 的方程 x2mx+n=0 的两个根是 0 和3，则 m=，n=。6.（20112011 四川四川泸州泸州 2 2 分分）已知关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k22=0 的两实根的平方和等于 11，则 k 的值为。7.（20112011 四川乐山四川乐山 1010 分分）题甲：已知关于 x 的方程222(a1)a4xx7a0的两根为 x1、x2，且满足121233xxxx20.求24a2(1)a4a的值。8.（20062006 北京市北京市 7 7 分）分）已知：关于 x 的方程2mx14x70有两

34、个实数根 x1和 x2，关于 y 的方程22y2 n1 yn2n0有两个实数根y1和y2，且2y1y24当2121212262 2yy140 xxx x（）时，求 m 的取值范围。9.（20062006 四川凉山四川凉山 6 6 分分）已知：x2+a2x+b=0 的两个实数根为 x1、x2；y1、y2是方程 y2+5ay+7=0 的两个实数根，且 x1y1=x2y2=2求 a、b 的值。五五、在平面几何中的应用在平面几何中的应用：在平面几何中，两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。典型例题：典型例题：例

35、 2：（20032003 江苏镇江江苏镇江 6 6 分）分）已知，如图，RtABC 中，ACB=900，AB=5，两直角边 AC、BC 的长是关于x 的方程2xm5 x6m0的两个实数根。（1）求 m 的值及 AC、BC 的长（BCAC）（2）在线段 BC 的延长线上是否存在点 D，使得以 D、A、C 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出CD 的长；若不存在，请说明理由。【答案】【答案】解：（1）设方程2xm5 x6m0的两个根分别是 x1、x2。x1+x2=m+5，x1x2=6m。2222121212xxxx2x xm 52 6m（）（）。RtABC 中，ACB=90，AB=5，222

36、12xxAB。22m52 6m5（），m2-m=0。m=0 或 m=2。当 m=0 时，原方程的解分别为 x1=0，x2=5，但三角形的边长不能为 0，所以 m=0 舍去；当 m=2 时，原方程为 x27x+12=0，其解为 x1=3，x2=4，所以两直角边 AC=3，BC=4。m=2，AC=3，BC=4。（2）存在。已知 AC=3，BC=4，AB=5，欲使以AD1C 为顶点的三角形与ABC 相似，则11ABACBCADCDAC。134CD3，则 CD1=94。欲使以AD2C 为顶点的三角形与ABC 相似，则22ABBCACADCDAC。BC=CD2=4。综上所述，在线段 BC 的延长线上是存

37、在点 D，使得以 D、A、C 为顶点的三角形与ABC相似，CD 的长为94或 4。【考点】【考点】相似三角形的判定，根与系数的的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析【分析】（1）先利用根与系数的关系与勾股定理求出 m 的值，再代入 m 的值求出 AC、BC 的长。（2）根据相似三角形的性质来解答此题，利用相似比即可求出 CD 的长。练习题：练习题：1.（20122012 山东潍坊山东潍坊 3 3 分分）已知两圆半径 r1、r2分别是方程 x27x+10=0 的两根，两圆的圆心距为 7，则两圆的位置关系是【】A相交B内切C外切D外离2.（20062006 四川广安四川广安 8 8 分分

38、）已知：ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边 BC 的长为 5试问：k 取何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？3.（20022002 江苏无锡江苏无锡 9 9 分分）已知：如图，O 的半径为 r，CE 切O 于 C，且与弦 AB 的延长线交于点 E，CDAB于 D如果 CE=2BE，且 AC、BC 的长是关于 x 的方程22x3 r2 xr40的两个实数根求：（1）AC、BC 的长；（2）CD 的长4.（20022002 湖南益阳湖南益阳 1010 分）分）巳知：如图，在ABC 中，B=90，O 是

39、AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的半圆交 AB 于点 E，与 AC 切于点 D当22ADAE5时，AD、AE（ADAE）是关于 x 的方程 x2（m1）xm2=0（m0）的两个根（1）求实数 m 的值；（2）证明：CD 的长度是无理方程2 x1x1 的一个根；（3）以 B 点为坐标原点，分别以 AB、BC 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，求过 A、B、D 三点且对称轴平行于 y 轴的抛物线的解析式5.（20102010 湖南株洲湖南株洲 3 3 分）分）两圆的圆心距 d=5，它们的半径分别是一元二次方程 x2-5x+4=0 的两个根，这两圆的位置关系是七、在二次函数中的

40、应用：七、在二次函数中的应用：一元二次方程 ax2bxc(a0)可以看作二次函数 yax2bxc(a0)当 y0 时的情形，因此若干二次函数 yax2bxc(a0)的图象与轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。典型例题：典型例题：例 1：（20122012 天津市天津市 3 3 分分）若关于 x 的一元二次方程（x2）（x3）=m 有实数根 x1,x2，且 x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3；1m4；二次函数 y=（xx1）（xx2）m 的图象与 x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确结论的个数是【】（A）0（B）1（C）2（D）3例 2：（20122012 甘肃兰州甘肃兰州

41、 1010 分）分）若 x1、x2是关于一元二次方程 ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根 x1、x2和系数 a、b、c 有如下关系：x1x2ba，x1x2ca 把它称为一元二次方程根与系数关系定理 如果设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到 A、B 连个交点间的距离为：AB|x1x2|222121 22b4cb4acx+x4x x=aaa2b4ac=a。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为 C，显

42、然ABC 为等腰三角形(1)当ABC 为直角三角形时，求 b24ac 的值；(2)当ABC 为等边三角形时，求 b24ac 的值【答案】【答案】解：（1）当ABC 为直角三角形时，过 C 作 CEAB 于 E，则 AB2CE。抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0，则|b24ac|b24ac。a0，AB22b4acb4ac=aa。又CE224acbb4ac=4a4a，22b4acb4ac=2a4a。22b4acb4ac=2，即222b4acb4ac=4。b24ac0，b24ac4。（2）当ABC 为等边三角形时，由(1)可知 CE32AB，22b4ac3b4ac=4a2a。b24ac0，b2

43、4ac12。【考点】【考点】抛物线与 x 轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。【分析【分析】（1）当ABC 为直角三角形时，由于 ACBC，所以ABC 为等腰直角三角形，过 C 作 CEAB 于 E，则 AB2CE根据本题定理和结论，得到 AB2b4ac=a，根据顶点坐标公式，得到 CE24acb=4a，列出方程，解方程即可求出 b24ac 的值。（2）当ABC 为等边三角形时，解直角ACE，得 CE32AB，据此列出方程，解方程即可求出 b24ac 的值。例 3：（20122012 广东梅州广东梅州 1010 分分）（1）已知一元二次方程 x2+px+q=0（p24

44、q0）的两根为 x1、x2；求证：x1+x2=p，x1x2=q（2）已知抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A、B 两点，且过点（1，1），设线段 AB 的长为 d，当 p 为何值时，d2取得最小值，并求出最小值例 4：（20122012 湖北荆州湖北荆州 1212 分）分）已知：y 关于 x 的函数 y=（k1）x22kx+k+2 的图象与 x 轴有交点（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1，x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求 k 的值；当 kxk+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值【答案】【答案】解：（1）

45、当 k=1 时，函数为一次函数 y=2x+3，其图象与 x 轴有一个交点。当 k1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点，令 y=0 得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1）（k+2）0，解得 k2即 k2 且 k1。综上所述，k 的取值范围是 k2。（2）x1x2，由（1）知 k2 且 k1。由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x2=2kk1，x1x2=k+2k1，2k2kk1=4k+2k1，解得：k1=1，k2=2（不合题意，舍去）。所求 k

46、值为1。如图，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x12）2+32，且1x1，由图象知：当 x=1 时，y最小=3；当 x=12时，y最大=32。y 的最大值为32，最小值为3。【考点【考点】抛物线与 x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析【分析】（1）分两种情况讨论，当 k=1 时，可求出函数为一次函数，必与 x 轴有一交点；当 k1 时，函数为二次函数，若与 x 轴有交点，则0。（2）根据（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于 k 的方程，求出 k 的值。充分利用图象，直接得出 y 的最大值和最小值。例

47、5：（20122012 湖北湖北黄石黄石 1010 分）分）已知抛物线 C1的函数解析式为2yaxbx3a(b0)，若抛物线 C1经过点(0,3)，方程2axbx3a0的两根为1x，2x，且12xx4。（1）求抛物线 C1的顶点坐标.（2）已知实数x0，请证明：1xx2,并说明x为何值时才会有1x2x.（3）若抛物线先向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2，设1A(m,y)，2B(n,y)是 C2上的两个不同点，且满足：00AOB9，m0，n0.请你用含有m的表达式表示出AOB 的面积 S，并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA 的函数解析式。（参考公式：

48、在平面直角坐标系中，若11P(x,y)，22Q(x,y)，则 P，Q 两点间的距离222121(xx)(yy)）【答案】【答案】解：（1）抛物线过（,）点，3a。a。x2bxx2bx=的两根为 x1，x2且12xx4，22121212xx(xx)4x x=b+12且 b。b。22xxx。抛物线的顶点坐标为（，）。（2）x，11x2(x)0 xx1x2x。当1x=0 x时，即当 x时，有1x2x。（3）由平移的性质，得 C2的解析式为：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。AOB 为直角三角形，OA2OB2=AB2。m2m4n2n4（mn）2（m2n2）2，化简得：m n。AOB=242411m

49、mnn22O A O B=，m n，AOB22221112mn2m22m211111(m)m212m2m2。AOB的最小值为，此时 m,(,)。直线 OA 的一次函数解析式为x。【考点【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。【分析【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数 a、b 的值已知抛物线图象与 y 轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到 a 的值）；然后从方程入手求 b 的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出 b的值

50、。（2）将1xx配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线 C2的解析式；在 RtOAB中，由勾股定理可确定 m、n 的关系式，然后用 m 列出AOB 的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定OAB 的最小面积值以及此时 m 的值，从而由待定系数法确定一次函数 OA 的解析式。别解：由题意可求抛物线 C2的解析式为：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，则AOCBODACDBSSSS梯形2222111(mn)(mn)m mn n2221mn(mn)2 由BODOAC得BDOD