初中几何证明题库_矩形.doc
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1、1/18例例 8 8.如图,已知矩形纸片 ABCD,AD=2,AB=4将纸片折叠,使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合,折痕 FG 分别与 AB,CD 交于点 G,F,AE 与 FG 交于点O(1)如图 1,求证:A,G,E,F 四点围成的四边形是菱形;(2)如图 2,当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时,求证:点 N 是线段 BC的中点;(3)如图 2,在(2)的条件下,求折痕 FG 的长 答案答案 解:(1)由折叠的性质可得,GA=GE,AGF=EGF,DCAB,EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四边形 AGEF 是平行四边形(EFAG,EF=AG)。又AG=G
2、E,四边形 AGEF 是菱形。(2)连接 ON,AED 是直角三角形,AE 是斜边,点 O 是 AE 的中点,AED 的外接圆与 BC 相切于点 N,ONBC。点 O 是 AE 的中点,ON 是梯形 ABCE 的中位线。点 N 是线段 BC 的中点。(3)OE、ON 均是AED 的外接圆的半径,OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在 RtADE 中,AD=2,AE=4,AED=30。2/18在 RtOEF 中,OE=2,AED=30,2 3OF3。FG=4 32OF3。考点考点 翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,菱形的判定,梯形中位线性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。分析分析(
3、1)根据折叠的性质判断出 AG=GE,AGF=EGF,再由 CDAB 得出EFG=AGF,从而判断出 EF=AG,得出四边形 AGEF 是平行四边形,从而结合 AG=GE,可得出结论。(2)连接 ON,则 ONBC,从而判断出 ON 是梯形 ABCE 的中位线,从而可得出结论。(3)根据(1)可得出 AE=AB,从而在 RtADE 中,可判断出AED 为 30,在 RtEFO中求出 FO,从而可得出 FG 的长度。8.8.依次连接一矩形场地 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H,得到四边形 EFGH,M为边 EH 的中点,点 P 为小明在对角线 EG 上走动的位置,若
4、 AB=10 米,BC=10 3米,当 PM+PH的和为最小值时,EP 的长为。10.10.如图,在矩形 ABCD 中,AD=4cm,AB=m(m4),点 P 是 AB 边上的任意一点(不与点 A、B 重合),连接 PD,过点 P 作 PQPD,交直线 BC 于点 Q(1)当 m=10 时,是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合?若存在,求出此时 AP 的长;若不存在,说明理由;(2)连接 AC,若 PQAC,求线段 BQ 的长(用含 m 的代数式表示);(3)若PQD 为等腰三角形,求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式,并写出 m 的取值围3/181.
5、1.已知长方形 ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF,分别交 AD、BC 于点 E、F,则 AE 的长为例例 2 2.如图,在矩形 ABCD 中,ADAB,将矩形 ABCD 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 MN,连结 CN若CDN 的面积与CMN 的面积比为 14,则MNBM的值为A2B4C2 5D2 6 答案答案 D。考点考点 翻折变换(折叠问题),折叠的性质,矩形、菱形的判定和性质,勾股定理。分析分析 过点 N 作 NGBC 于 G,由四边形 ABCD 是矩形,易得四边形 CDNG 是矩形,又由折叠的性质,可得四边形 AMC
6、N 是菱形,由CDN 的面积与CMN 的面积比为 1:4,根据等高三角形的面积比等于对应底的比,可得 DN:CM=1:4,然后设 DN=x,由勾股定理可求得 MN 的长,从而求得答案:过点 N 作 NGBC 于 G,四边形 ABCD 是矩形,四边形 CDNG 是矩形,ADBC。CD=NG,CG=DN,ANM=CMN。由折叠的性质可得:AM=CM,AMN=CMN,ANM=AMN。AM=AN。AM=CM,四边形 AMCN 是平行四边形。AM=CM,四边形 AMCN 是菱形。CDN 的面积与CMN 的面积比为 1:4,DN:CM=1:4。设 DN=x,则 AN=AM=CM=CN=4x,AD=BC=5
7、x,CG=x。BM=x,GM=3x。4/18在 RtCGN 中,2222NGCNCG4xx15x,在 RtMNG 中,2222MNGMNG3x15x=2 6x,MN2 6x=2 6BMx。故选 D。例例 1.1.如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,CD 上,将ABE 沿 AE 折叠,使点 B 落在AC 上的点 B处,又将CEF 沿 EF 折叠,使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处则 BC:AB的值为。5/18例例 3 3.如图所示,现有一边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上的一点(不与点A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P
8、处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为EF,连接 BP、BH(1)求证:APB=BPH;(2)当点 P 在边 AD 上移动时,PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论;(3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式,试问 S 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由 答案答案 解:(1)如图 1,PE=BE,EBP=EPB又EPH=EBC=90,EPHEPB=EBCEBP,即PBC=BPH。又ADBC,APB=PBC。APB=BPH。(2)PHD 的周长不变为定值 8。证明如下:如图 2,过 B 作 BQPH,垂足
9、为 Q。6/18由(1)知APB=BPH,又A=BQP=90,BP=BP,ABPQBP(AAS)。AP=QP,AB=BQ。又AB=BC,BC=BQ。又C=BQH=90,BH=BH,BCHBQH(HL)。CH=QH。PHD 的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。(3)如图 3,过 F 作 FMAB,垂足为 M,则 FM=BC=AB。又EF 为折痕,EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。又A=EMF=90,AB=ME,EFMBPA(ASA)。EM=AP=x在 RtAPE 中,(4BE)2+x2=BE2,即2xBE2+8。2xCFBEEM2+x
10、8。又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等,22211x11SBECFBC=4+x4=x2x+8=x2+622422。1042,当 x=2 时,S 有最小值 6。考点考点 翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,二次函数的最值。分析分析 (1)根据翻折变换的性质得出PBC=BPH,进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案。(2)先由 AAS 证明ABPQBP,从而由 HL 得出BCHBQH,即可得 CH=QH。因此,PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。7/18(3)利用已知得出EFMBPA,
11、从而利用在 RtAPE 中,(4BE)2+x2=BE2,利用二次函数的最值求出即可。4.4.如图所示,将两等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形 ABCD,若 AD6cm,ABC60,则四边形 ABCD 的面积等于_cm2例例 2 2.如图,矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 E、交 BC 于点 F,则EF=答案答案 5。考点考点 线段垂直平分线的性质,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理;分析分析 连接 EC,AC、EF 相交于点 O。AC 的垂直平分线 EF,AE=EC。四边形 ABCD 是矩形,D=B=90,AB=CD=2,A
12、D=BC=4,ADBC。AOECOF。AOOEOCOF。OA=OC,OE=OF,即 EF=2OE。在 RtCED 中,由勾股定理得:CE2=CD2+ED2,即 CE2=(4CE)2+22,解得:CE=52。在 RtABC 中,AB=2,BC=4,由勾股定理得:AC=2 5,CO=5。在 RtCEO 中,CO=5,CE=52,由勾股定理得:EO=52。EF=2EO=5。例例 3 3.已知一个矩形纸片 OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点 A(11,0),点 B(0,8/186),点 P 为 BC 边上的动点(点 P 不与点 B、C 重合),经过点 O、P 折叠该纸片,得点 B和折痕 OP
13、设 BP=t()如图,当BOP=300时,求点 P 的坐标;()如图,经过点 P 再次折叠纸片,使点 C 落在直线 PB上,得点 C和折痕 PQ,若AQ=m,试用含有 t 的式子表示 m;()在()的条件下,当点 C恰好落在边 OA 上时,求点 P 的坐标(直接写出结果即可)答案答案 解:()根据题意,OBP=90,OB=6。在 RtOBP 中,由BOP=30,BP=t,得 OP=2t。OP2=OB2+BP2,即(2t)2=62+t2,解得:t1=2 3,t2=2 3(舍去)点 P 的坐标为(2 3,6)。()OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的,OBPOBP,QCPQCP。OP
14、B=OPB,QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180,OPB+QPC=90。BOP+OPB=90,BOP=CPQ。又OBP=C=90,OBPPCQ。OBBPPCCQ。由题意设 BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则 PC=11t,CQ=6m6t11t6m。2111mt t666(0t11)。()点 P 的坐标为(11133,6)或(11+133,6)。考点考点 翻折变换(折叠问题),坐标与图形性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质。9/18 分析分析()根据题意得,OBP=90,OB=6,在 RtOBP 中,由BOP=30,BP=t,得OP=2t,然
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