云南省保山市腾冲六中2015_2016学年七年级数学上学期期中试题含解析新人教版.doc

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1、云南省保山市腾冲六中2015-2016学年七年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）16的相反数是( )A6B6CD2据第六次全国人口普查数据，某市常住人口约为4 800 000人4 800 000用科学记数法可表示为( )A48105B0.48106C4.8105D4.81063若实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是( )Aab0Bab0Ca+b0Db（ac）04已知n为正整数，计算（1）2n+（1）2n+1的结果是( )A1B1C0D25已

2、知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是( )A1B4C7D96下列说法中正确的是( )A|a|是正数B是正分数C若|a|=a，则a是非正数Dx2y与2xy2是同类项7为了节约用水，某市规定：每户居民每月用水不超过20立方米，按每立方米a元收费；超过20立方米，则超过部分加倍收费某户居民五月份交水费36a元，则该户居民五月份实际用水为( )A18立方米B28立方米C26立方米D36立方米8点A、B分别是数3、在数轴上对应的点，把线段AB沿数轴向右移动到AB，且线段AB的中点对应的数是3，则点A对应的数是( )A0BC1D4二填空题（本大题共10小题，每空2分，共22分不需写出解答

3、过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9请写出一个解为x=2的一元一次方程_10多项式3x26+6x5+5x3的次数是_11若关于x、y的单项式2xmy3与5xyn之和仍是单项式，则代数式m2n的值是_12写出两个多项式，使它们的和为3mn两个多项式为_13若|m3|+（n+2）2=0，则m+2n的值为_14一组按一定规律排列的式子：a2，（a0），则第n个式子是_（n为正整数）15用加减乘除四种运算计算“24点”：2，3，6，9：_；3，5，7，13：_16在图所示的计算程序中，输入的数为_17已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+2b|c2b|的结果是_18观察下面一列数：

4、1，2，3，4，5，6，7，将这列数排成下列形式按照上述规律排下去，那么第11行从左边第7个数是_三解答题（本大题共9题，共62分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19把下列各数填入它所属的括号内（注意：只填序号）：2，0.5，3.7，4.5，整数：_ ；正分数：_ ；负有理数：_20计算题：（1）24（+）； （2）120125（2）（4）2（8）21先化简，再求值：（1）9x+6x2+3（xx2），其中x=2（2）10（6x8x2+2）2（5x2+4x1），其中x=222A、B两地果园分别有苹果20吨和40吨，CD两地分别需要苹果25吨和35吨；已知从A、

5、B到C、D的运价如下表：到C地到D地A果园每吨12元每吨8元B果园每吨10元每吨9元（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为_吨，从A果园将苹果运往D地的运输费用为_元（2）用含x的式子表示出总运输费，请判断当x为何值时，总运输费最少，并求出此时的总运费23同学们都知道，|5（2）|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为数轴上表示5与2的两点之间的距离试探索：（1）|8（1）|=_（2）写出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x+1|=3成立（3）根据以上探索猜想，对于任何有理数x，|x3|+|x8|是否有最小值？如果有，指出当x满足什么条件时|x3|+|x8|取得

6、最小值，并写出最小值；如果没有，请说明理由24下图为魔术师在小美面前表演的经过：根据图中所述，我们无法知道小美所写数字是多少，那么魔术师一定能做到吗？如果能，请利用所学知识推导出魔术师猜出的结果如果不能，请说明理由25某通讯公司推出移动电话的两种计费方式（详请见下表）固定交费主叫限定时间/分主叫超时费（元/分）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费温馨提示：若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分加收0.25元设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（1

7、）用含有t的式子填写下表：t150150t350t=350t350方式一计费/元58_108_方式二计费/元888888_（2）当t=270时，哪种计费方式更省钱？请通过计算说明你的理由（3）当t350时，请选择哪一种说法最合理_A方式一计费省钱 B方式二计费省钱C两种方式计费相同 D无法判定26数学翻译 牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分（另一个创立者是莱布尼茨）、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作自然哲学的数学原理，照亮了人类科学文明的大道，牛顿在他的普遍的算术一书中写道：“要解答一

8、个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常的语言译成代数的语言就行了”下表是由牛顿给出的1个例子改写、简化而成的，请将表的空白补上（不必化简）日常语言代数语言一个商人有一笔钱x第一年他花去了100镑x100补进去余额的（x100）+（x100）第二年他又花去了100镑（1）_又补进去余额的（2）_结果他的钱数正好是原来的钱数（3）_根据上表中的（3）可解得x=_27提出问题：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC的3个顶

9、点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图，显然，此时可把ABC分割成3个互不重叠的小三角形探究二：以ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：第一种情况，点Q在图分割成的某个小三角形内部不妨设点Q在PAC的内部，如图；另一种情况，点Q在图分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q在PA上，如图显然，不管哪种情况，都可把ABC分割成5个互不重叠的小三角形探究三：以ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6

10、个点为顶点，可把ABC分割成_个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图探究四：以ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把ABC分割成_个互不重叠的小三角形探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成_个互不重叠的小三角形问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成_个互不重叠的小三角形实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）2015-2016学年云南省保山市腾冲六中七年级（上）期中数学试卷一

11、、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）16的相反数是( )A6B6CD【考点】相反数【分析】根据相反数的定义，即可解答【解答】解：6的相反数是6，故选：A【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义2据第六次全国人口普查数据，某市常住人口约为4 800 000人4 800 000用科学记数法可表示为( )A48105B0.48106C4.8105D4.8106【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时

12、，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：将4 800 000用科学记数法表示为：4.8106故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3若实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是( )Aab0Bab0Ca+b0Db（ac）0【考点】不等式的性质；实数与数轴【专题】计算题【分析】首先根据数轴可以得到ba0c，然后据此即可确定哪个选项正确【解答】解：ba0c，ab0，a+b0，故

13、选项A、C正确；ab0，故选项B错误；ac0，b0，b（ac）0，故选项D正确；故错误的是B；故本题选B【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边的数总是大于左边的数4已知n为正整数，计算（1）2n+（1）2n+1的结果是( )A1B1C0D2【考点】有理数的乘方【分析】由n为正整数，得到2n为偶数，2n+1为奇数，利用1的奇次幂为1，偶次幂为1，计算即可得到结果【解答】解：原式=11=0故选C【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键5已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是( )A1B4C7D9【考点】代数式求值【专题】整体思想【分析】观察

14、题中的代数式2x+4y+1，可以发现2x+4y+1=2（x+2y）+1，因此可整体代入，即可求得结果【解答】解：由题意得：x+2y=3，2x+4y+1=2（x+2y）+1=23+1=7故选：C【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x+2y的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值6下列说法中正确的是( )A|a|是正数B是正分数C若|a|=a，则a是非正数Dx2y与2xy2是同类项【考点】绝对值；算术平方根；同类项【分析】根据绝对值是非负数，无理数，同类项的定义，即可解答【解答】解：A、|a|是非负数，故错误；B、是无理数，故错误；C、若|a|=a

15、，则a是非正数，正确；D、x2y与2xy2不是同类项，故错误；故选：B【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是明确绝对值是非负数7为了节约用水，某市规定：每户居民每月用水不超过20立方米，按每立方米a元收费；超过20立方米，则超过部分加倍收费某户居民五月份交水费36a元，则该户居民五月份实际用水为( )A18立方米B28立方米C26立方米D36立方米【考点】一元一次方程的应用【专题】应用题【分析】设该户居民五月份实际用水为x立方米，则根据居民五月份交水费36a元列出方程，解出即可得出答案【解答】解：设该户居民五月份实际用水为x立方米，由题意得，20a+2a（x20）=36a，解得：x=28，

16、即该户居民五月份实际用水为28立方米故选B【点评】此题考查了一元一次方程的应用，涉及了阶级收费分问题，注意分段表示每部分所花费的钱数，利用方程思想解出答案8点A、B分别是数3、在数轴上对应的点，把线段AB沿数轴向右移动到AB，且线段AB的中点对应的数是3，则点A对应的数是( )A0BC1D4【考点】数轴【分析】根据题意知AB的中点为（3），点A、B到AB的中点的距离为3（），得出A同样移动相同距离，根据两点之间的距离为两个数差的绝对值，从而得出结论【解答】解：根据题意，线段AB的中点为（3）=，又线段AB的中点对应的数是3，中点移动的距离为3（）=，A移动的距离是，A的值为3+=，故选：C【点

17、评】本题主要考查了数轴上两点中点的计算方法及两点之间的距离，需要注意点在数轴上移动的特点，难度适中二填空题（本大题共10小题，每空2分，共22分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9请写出一个解为x=2的一元一次方程x2=0【考点】一元一次方程的解【专题】开放型【分析】根据方程的解的定义，只要使x=2能使方程左右两边相等即可（答案不唯一）【解答】解：写出一个解为x=2的一元一次方程是x2=0故答案是：x2=0【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程的左右两边相等的未知数的值10多项式3x26+6x5+5x3的次数是5【考点】多项式【分析】找到最高次项，让所有字母的

18、指数相加即可得到多项式的次数【解答】解：多项式3x26+6x5+5x3的次数是5，故答案为：5【点评】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数；多项式的常数项指不含字母的项11若关于x、y的单项式2xmy3与5xyn之和仍是单项式，则代数式m2n的值是5【考点】同类项【分析】根据题意可知2xmy3与5xyn是同类项，从而得到m=1，n=3，然后代入计算即可【解答】解：关于x、y的单项式2xmy3与5xyn之和仍是单项式，2xmy3与5xyn是同类项m=1，n=3m2n=123=16=5故答案为：5【点评】本题主要考查的是同类项的定义，根据同类项的定义得

19、到m=1，n=3是解题的关键12写出两个多项式，使它们的和为3mn两个多项式为mn+1与2mn1【考点】整式的加减【专题】开放型【分析】写出两个多项式，使其和为3mn即可【解答】解：根据题意得：mn+1与2mn1故答案为：mn+1与2mn1【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键13若|m3|+（n+2）2=0，则m+2n的值为1【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值【专题】计算题【分析】根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，代入所求代数式计算即可【解答】解：|m3|+（n+2）2=0，解得，m+2n=34=1故答案为1【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负

20、数的和为0时，这几个非负数都为014一组按一定规律排列的式子：a2，（a0），则第n个式子是（1）n（n为正整数）【考点】规律型：数字的变化类【专题】压轴题；规律型【分析】分析可得这列式子：正负相间，且其分母依次是1，2，3 ，分子依次是a2，a5，故第n个式子是（1）n【解答】解：根据分子和分母的规律可知第n个式子为（1）n【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案本题的关键是准确找到分子的规律15用加减乘除四种运算计算“24点”：2，3，6，9：9（6）2+3=24或9（6）32=24；3，5，7，13：7（5）133=2

21、4【考点】有理数的混合运算【专题】开放型【分析】根据已知数字，利用“24点”游戏规则计算即可得到结果；根据已知数字，利用“24点”游戏规则计算即可得到结果【解答】解：根据题意得：9（6）2+3=24或9（6）32=24；根据题意得：7（5）133=24，故答案为：9（6）2+3=24或9（6）32=24；7（5）133=24【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键16在图所示的计算程序中，输入的数为1或7【考点】有理数的混合运算【专题】图表型【分析】根据计算程序，设输入的数为x，根据程序可以列出方程，通过解答方程即可得到问题的答案【解答】解：设输入的数为x，根据计算程

22、序可得，（x+3）22=14解得，x1=1，x2=7故答案为：1或7【点评】本题考查解一元二次方程的相关知识，关键是弄懂计算程序，列出正确的方程17已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+2b|c2b|的结果是a+c【考点】整式的加减；数轴；绝对值【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可【解答】解：由图可知，ca0b，|c|b|a|，a+2b0，c2b0，原式=a+2b+（c2b）=a+2b+c2b=a+c故答案为：a+c【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键18观察下面一列数：1，2，3，

23、4，5，6，7，将这列数排成下列形式按照上述规律排下去，那么第11行从左边第7个数是107【考点】规律型：数字的变化类【分析】由数字的排列可知：每一行的数字的最后一个数字是所在行数的平方，奇数为负，偶数为正，由此规律求得第10行的最后数字是102，在加上7就是第11行从左边第7个数字，进一步判定符号得出答案【解答】解：根据每行的最后一个数的绝对值是这个行的行数n的平方，所以第10行最后一个数字的绝对值是：102=100，第11行从左边第7个数是：（100+7）=107故第11行从左边第7个数是107故答案为：107【点评】此题考查数字的变化规律，得出最后一个数字是所在行数的平方是解决问题的关键

24、三解答题（本大题共9题，共62分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19把下列各数填入它所属的括号内（注意：只填序号）：2，0.5，3.7，4.5，整数： ；正分数： ；负有理数：【考点】有理数【分析】按照有理数的分类填写：有理数【解答】解：整数：；正分数：；负有理数：故答案为；【点评】本题考查了实数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数20计算题：（1）24（+）； （2）120125（2）（4）2（8）【考点】有理数的混合运算【专题】计算题；实数【分析】（1）原式利用乘法分配律计

25、算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果【解答】解：（1）原式=1218+8=2； （2）原式=1+102=7【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键21先化简，再求值：（1）9x+6x2+3（xx2），其中x=2（2）10（6x8x2+2）2（5x2+4x1），其中x=2【考点】整式的加减化简求值【专题】计算题【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；（2）原式去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）原式=9x+6x2+3x2x2=12x+4x2，当x=2时，原式=2

26、4+16=40；（2）原式=106x+8x2210x28x+2=1014x2x2，当x=2时，原式=30【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键22A、B两地果园分别有苹果20吨和40吨，CD两地分别需要苹果25吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表：到C地到D地A果园每吨12元每吨8元B果园每吨10元每吨9元（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为吨，从A果园将苹果运往D地的运输费用为（1608x）元（2）用含x的式子表示出总运输费，请判断当x为何值时，总运输费最少，并求出此时的总运费【考点】列代数式；代数式求值【分析】（1）A果园运

27、到D地的苹果=A果园共有苹果吨数20A果园运到C地的苹果为x吨；运输费用为12相应的吨数；（2）总运输费=A果园运到C地的总运费+A果园运到D地的总运费+B果园运到C地的总运费+B果园运到D地的总运费【解答】解：（1）从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为吨，从A果园将苹果运往D地的运输费用为：8=1608x（元）故答案是：，（1608x）（2）总运输费=（3x+545）元，由于0x20，故当x=0时，总运输费最少，为545元【点评】本题考查了列代数式和代数式求值解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系需注意根据C，D所需的吨数得到B果园运往C，D两地的吨数23同学们

28、都知道，|5（2）|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为数轴上表示5与2的两点之间的距离试探索：（1）|8（1）|=9（2）写出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x+1|=3成立（3）根据以上探索猜想，对于任何有理数x，|x3|+|x8|是否有最小值？如果有，指出当x满足什么条件时|x3|+|x8|取得最小值，并写出最小值；如果没有，请说明理由【考点】绝对值【分析】（1）根据两点间的距离，即可解答；（2）利用绝对值及数轴求解即可；（3）根据数轴及绝对值，即可解答【解答】解：（1）|8（1）|=9，故答案为：9（2）|x+2|+|x+1|=3，x=2，1，0，1（3）有最小值，当3x8时

29、，原式可以取得最小值，最小值为5【点评】本题主要考查了绝对值及数轴解题的关键是熟记绝对值及数轴的定义24下图为魔术师在小美面前表演的经过：根据图中所述，我们无法知道小美所写数字是多少，那么魔术师一定能做到吗？如果能，请利用所学知识推导出魔术师猜出的结果如果不能，请说明理由【考点】列代数式【分析】根据题意列出算式，去括号合并即可得到结果【解答】解：设小美所写数字是x，则由题意得：魔术师要求小妹算出的数字=（3x+6）3x=x+2x=2因此无论小美写哪一个数字，魔术师都可以猜中小美得出的答案，答案总是为2【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键25某通讯公司推出移动电话的两种计

30、费方式（详请见下表）固定交费主叫限定时间/分主叫超时费（元/分）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费温馨提示：若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分加收0.25元设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（1）用含有t的式子填写下表：t150150t350t=350t350方式一计费/元580.25t+20.51080.25t+20.5方式二计费/元8888880.19t+21.5（2）当t=270时，哪种计费方式更省钱？请通过计算说明你的理由（3）当

31、t350时，请选择哪一种说法最合理BA方式一计费省钱 B方式二计费省钱C两种方式计费相同 D无法判定【考点】列代数式；代数式求值【专题】优选方案问题【分析】（1）根据题意可写出表格中应填的内容；（2）当t=270时分别代入（1）中的表格中符合要求的关系式，然后进行比较即可解答本题；（3）根据表格中的信息可以得到本问的答案【解答】解：（1）根据某通讯公司推出移动电话的两种计费方式的表格可得，当150t350，方式一计费为：58+（t150）0.25=0.25t+20.5；当t350时，方式一计费为：58+（t150）0.25=0.25t+20.5；当t350时，方式二计费为：88+（t350）0

32、.19=0.19t+21.5故答案为：0.25t+20.5，0.25t+20.5，0.19t+21.5（2）当t=270时，两种计费方式相同当t=270时，方式一计费为：0.25270+20.5=88元；当t=270时，方式二计费为：88元88=88，两种计费方式相同（3）由（1）和（2）可知，当t=270时，两种收费方式一样，当t270时，方式一计费每增加一分多收0.25元，方式二计费每增加一分钟多收0.19元，故t350时，计费方式二省钱故选项A错误，选项B正确，选项C错误，选项D错误故选B【点评】本题考查列代数式和代数式求值，关键是明确题意和表格中的信息，找出所求问题需要的信息26数学翻

33、译 牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分（另一个创立者是莱布尼茨）、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作自然哲学的数学原理，照亮了人类科学文明的大道，牛顿在他的普遍的算术一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常的语言译成代数的语言就行了”下表是由牛顿给出的1个例子改写、简化而成的，请将表的空白补上（不必化简）日常语言代数语言一个商人有一笔钱x第一年他花去了100镑x100补进去余额的（x100）+（x100）第二年他又花去了100镑（1）（x100）+（x100）

34、100又补进去余额的（2）（x100）+（x100）100+（x100）+（x100）100结果他的钱数正好是原来的钱数（3）（x100）+（x100）100+（x100）+（x100）100=x根据上表中的（3）可解得x=400【考点】一元一次方程的应用【分析】（1）根据补进去余额的减去100得出答案即可；（2）利用（1）中代数式列出算式计算即可；（3）把（2）中的代数式与x组成方程求得答案即可【解答】解：（1）（x100）+（x100）100；（2）（x100）+（x100）100+（x100）+（x100）100；（3）（x100）+（x100）100+（x100）+（x100）100=

35、x解得：x=400【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键27提出问题：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图，显然，此时可把ABC分割成3个互不重叠的小三角形探究二：以ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在

36、图ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：第一种情况，点Q在图分割成的某个小三角形内部不妨设点Q在PAC的内部，如图；另一种情况，点Q在图分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q在PA上，如图显然，不管哪种情况，都可把ABC分割成5个互不重叠的小三角形探究三：以ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把ABC分割成7个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图探究四：以ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把ABC分割成（2m+1）个互不重叠的小三角形探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边

37、形分割成（2m+2）个互不重叠的小三角形问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成（2m+n2）个互不重叠的小三角形实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）【考点】作图应用与设计作图【分析】探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可；探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可；探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；问题解决：根据规律，把

38、相应的点数换成m、n整理即可得解；实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解【解答】解：探究三：分割示意图不唯一，如下图所示：可把ABC分割成7个互不重叠的小三角形，故答案为：7；探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（11），三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（21），三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（31），所以，三角形内部有m个点时，3+2（m1）=2m+1，故答案为：（2m+1）；探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点，则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m1）=2m+2，故答案为：（2m+2）；问题解决：n+2（m1）=2m+n2，故答案为：（2m+n2）；实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得2m+n2，=22012+82，=4024+82，=4030【点评】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键