(1.4.1)--工程应用数学基础（4）--线性变换.pdf

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1、图片主讲：国防科技大学 杨文强 副教授第一篇：矩阵理论第 4 讲：线 性 变 换工程应用数学基础工程应用数学基础第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础内容提纲一.线性变换的定义二.线性变换的矩阵表示三.零空间与值空间第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础一、线性变换的定义定义定义1(线性变换线性变换)设设 V1，V2是同一数域是同一数域 F 上的上的线性空间，线性空间，T 是是V1V2的映射，若对的映射，若对V1中中任意向量任意向量，以及数域，以及数域F中任意元素中任意元素 k，有有，+=+=TTTT kkT()()则称则称 T 为线性空

2、间为线性空间V1到到 V2的的线性变换线性变换(或或线性算子线性算子).第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础一、线性变换的定义例例 1 在线性空间在线性空间 Pn(t)定义映射定义映射 T 为：为：，=tTp tp tp ttnd()()()P()d则则 T 是线性算子是线性算子.：TttnnP()P()1第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础一、线性变换的定义例例 2 设设，对任意的向量，对任意的向量，定义映射定义映射 T 如下：如下：Am nxn=TxAx则则T 是是的线性变换的线性变换.nm一个矩阵一个矩阵 A 就可以定义一个线性

3、变换就可以定义一个线性变换.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础一、线性变换的定义例例 3 设设=是线性空间是线性空间的一个基，的一个基，定义映射定义映射T 如下：如下：，123V3+=+T xxxxxxxxx()()()112233123123233，xxxF1231)则则T 是是的线性变换；的线性变换；VV332)设设，试求，试求.=+230123T0第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础一、线性变换的定义解解 1)设向量设向量在基在基下的坐标分别为下的坐标分别为，V3，123，=xxxxyyyy123123TT即有即有xy=+=+

4、yyyxxx112233112233则由映射则由映射T的定义有的定义有=+TT xxx()112233第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础一、线性变换的定义+=+T xxxxxxxxx()()()112233123123233，=+xxxxxx312323123，=xxx001 011111312321Ax第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础一、线性变换的定义，=xTxx001 011111312321AxT：xA xT原像的坐标原像的坐标像的坐标像的坐标第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础一、线性变换的

5、定义+T()T(x+y)T(x+y)A(x+y)+TTT(x)+T(y)Ax+Ay即有即有+=+TTT()同理有同理有T(k)T(kx)A(kx)k Ax kT()所以所以T 是是的线性变换的线性变换第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础一、线性变换的定义2)方法一方法一=+TT(23)0123=+(123)(23)3123=+653123方法二方法二因为因为0在基在基下的坐标为下的坐标为 x 1 2 3T，=T0013 011211110123=+653123第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示设设T 是是 V

6、nV m 的线性变换，的线性变换，=与与=分别是分别是V n与与V m 的基的基，m12，n12，Vnn 12，Vmm 12T第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示设设 Ti在基在基=1，2，m 下的坐标为下的坐标为因为因为 TiVm，i1，2，n.，=aAinamiii1 2.1即有即有 Ti=Ai，i1，2，n.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示则有则有记记 T=T1，T2，Tn其中其中 A=A1，A2，An.T=T1，T2，Tn=A1，A2，An=A1，A2，An=A第第4讲讲 线线

7、性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示定义定义2称矩阵称矩阵 A为线性变换为线性变换T 在基偶在基偶，下的下的矩阵矩阵.若若T 是是 V nV n(自身自身)的线性变换，则取的线性变换，则取，此时此时A是方阵，简称为是方阵，简称为T 在基在基下的下的矩阵矩阵.A=A1，A2，An其中其中Ai 是像是像Ti在像空间基在像空间基下的坐标下的坐标.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示例例 4 定义定义上的线性算子上的线性算子T：3，+=+=+xxxTxxxxxxxxxxx222452542123123123T3123

8、，=102 210 211试试求求T 在基在基下的矩阵下的矩阵.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示，=T110122010 22202解解先求先求中各个向量中各个向量i在线性变换在线性变换T 下的像下的像Ti，然后再求然后再求Ti在在基基下的坐标下的坐标.，=T001111=T220011由此得到由此得到T 在在基基下的矩阵为：下的矩阵为：=A1110第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示例例 5设设=1，2，3与与=1，2，3 均是线性空间均是线性空间V3的基，的基，到到的过渡矩阵为的过渡

9、矩阵为=P101010101设设V 3上上的线性变换的线性变换T，满足以下条件：，满足以下条件：T(12233)=12，T(21223)=23T(13243)=13第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示1)求求T 在基在基下的矩阵；下的矩阵；2)求求T1在基在基下的坐标下的坐标.解解1)先先将将T(12233)=12，T(21223)=23T(13243)=13 写成矩阵形式：写成矩阵形式：，=T324011 213 110121101123123第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示，=T32

10、4011 213 110121101123123，=T011324 1102131011211231231第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示又又P，所以有，所以有TTP，=P011324 1102131011211231，=652553321123第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示所以求所以求T 在基在基下的矩阵是下的矩阵是=A652553321第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础二、线性变换的矩阵表示2)因为因为T1在基在基下的下的坐标是坐标是 =yA06

11、5206055305132113又又基基到到的过渡矩阵是的过渡矩阵是P，所以，所以T1在基在基下下的的坐标是坐标是=xPy359T第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间定义定义3(零空间值空间零空间值空间)设设 T 是是 Vn Vm的线性变换，记的线性变换，记(T)=Vn|T=O(T)=TVm|Vn称称(T)为为 T 的的零空间零空间(核核)；称称(T)为为 T 的的值空间值空间(值域值域).易知，易知，(T)是是 Vn的子空间；的子空间；(T)是是 Vm的子空间的子空间.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间

12、与值空间定义定义4(零度与秩零度与秩)设设 T 是是 V n V m的线性变换，记的线性变换，记null(T)dim(T)rank(T)dim(T)称称null(T)为为 T 的的零度零度，称称rank(T)为为 T 的的秩秩.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间定理定理1设设T 是是 V nV m 的线性变换，的线性变换，与与分别是分别是V n与与V m 的基，的基，T 在基偶在基偶，下的矩阵为下的矩阵为A，则有，则有，m12，n121)null(T)dim(A)n rank(A)；2)rank(T)dim(A)rank(A)；3)rank(T

13、)null(T)n.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间证明证明1)对任意的对任意的(T)，设其在基，设其在基下的坐标为下的坐标为x，则有，则有TO，TAx由此得到由此得到TAxO即有即有AxO x(A)反之，对任意的反之，对任意的 x(A)因因Ax O，所以若，所以若x，则，则TAxO(T)第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间故故有有x(T)x(A)又又由向量与坐标的关系知由向量与坐标的关系知1x1，2x2，rxr线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是其坐标向量其坐标向量 x1，x2，xr线性无

14、关线性无关所以所以 null(T)dim(A)成立成立.类似可以证明类似可以证明 2)rank(T)dim(A)成立成立.由由 1)与与 2)可得可得 3)成立成立.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间例例 6定义定义上的线性变换上的线性变换 T：其中其中，=TXCXXCX.2 22 2=C11.10试求试求1)T 的零度的零度null(T)及其零空间及其零空间(T)的基；的基；2)T 的秩的秩rank(T)及其值空间及其值空间(T)的的基基.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间解解 1)先求出线性

15、变换先求出线性变换T 在一个基下的矩阵在一个基下的矩阵.取取的基如下：的基如下：，=EEEE000010011001000012342 2则有则有=TECEE C1000111，=EEEE01001234第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间，=TECEE CEEEE101010012221234=TECEE CO333，=TECEE CEEEE010100004441234第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间所以所以T 在一个基在一个基下的矩阵为：下的矩阵为：=A0100100100000100，E

16、EEE1234因为因为rank(A)2，所以，所以 null(T)4 2 2第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间解解齐次齐次线性方程组线性方程组 Ax0，得基础解系，得基础解系，=xx0010100112TT该该基础解系就是零空间基础解系就是零空间(T)基的坐标，由此得到基的坐标，由此得到(T)的基：的基：=+=EEEEE10001000112343=+=EEEE0110011021234第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间2)因为矩阵因为矩阵A的秩为的秩为2，所以有，所以有 rank(T)rank

17、(A)2因为像向量组因为像向量组 T(E1)，T(E2)，T(E3)，T(E4)的极大线性无关组是：的极大线性无关组是：10000110上向量组即为值空间上向量组即为值空间(T)的的基基.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础求零空间求零空间(T)与值与值空间空间(T)的基的一般方法的基的一般方法设设T 是是 V nV m 的线性变换，的线性变换，与与分别是分别是V n与与V m 的基的基一、求零空间一、求零空间(T)的基：的基：1)先求出先求出T 在基偶在基偶，下的矩阵下的矩阵A；2)求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系：的基础解系：x1，x

18、2，xr3)则则x1，x2，xr出为出为(T)的的基基.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础求零空间求零空间(T)与值与值空间空间(T)的基的一般方法的基的一般方法设设T 是是 V nV m 的线性变换，的线性变换，与与分别是分别是V n与与V m 的基的基二、求值空间二、求值空间(T)的基：的基：1)先求出基先求出基中向量变换后的中向量变换后的像像 T1，T2，Tn；2)则则T1，T2，Tn的极大线性无关组即为的极大线性无关组即为(T)的的基基.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间例例 7定义定义上的线性变换上的线

19、性变换 T：，=xTxxnn00100100.1000000021n1)证明证明 TnO；2)求求T 的零空间的零空间(T)及值空间及值空间(T)的的基与维数基与维数.第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间(1)证明证明 对任意的对任意的，由，由T 的的定义有定义有=xxxnn12T=xxTxxxxnn0010010010000000012211=TT T()2=xxn0012Txxxn00100100100000000121第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间以此类推，得到以此类推，得到 TnO由向量由向量 的任意性，所以有的任意性，所以有 TnO.2)先取定先取定的基的基：n，=n0001001001001000123第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础三、零空间与值空间由由T 的定义有的定义有，=TTTTTOnnn1223341所以所以2，3，n是值空间是值空间(T)的的基，故基，故dim(T)n 1.由此得到由此得到 dim(T)1又又n(T)，所以所以(T)的的基是基是n 第第4讲讲 线线 性性 变变 换换工程应用数学基础工程应用数学基础谢谢！