(1.5.1)--1.5公平的选举.pdf

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1、存在公平的选举吗存在公平的选举吗一、问题背景2134在在公众生活和政治活动中公众生活和政治活动中,靠投票选举决定的事情靠投票选举决定的事情众多，众多，推选班长、队长推选班长、队长；竞选市长、总统竞选市长、总统；人们人们都都希望公平、公正希望公平、公正的选举的选举.什么是真正的公平什么是真正的公平？世界上存在公平的选举吗？世界上存在公平的选举吗？评选评选最佳影片、优秀最佳影片、优秀运动员运动员；推举旅游胜地、宜居推举旅游胜地、宜居城市城市一、问题背景2134每位选民对所有候选人按照偏爱程度所作的每位选民对所有候选人按照偏爱程度所作的排序排序称为称为一次投票一次投票.根据全体选民的投票确定哪位候选

2、人是根据全体选民的投票确定哪位候选人是获胜者获胜者的的规则规则称为称为选举方法选举方法.按照公认的民主法则和选民的理性行为对选举的公平、公正做出的按照公认的民主法则和选民的理性行为对选举的公平、公正做出的一些规定，称为一些规定，称为公平性准则公平性准则.介绍几种介绍几种选举方法选举方法和几条公平性准则和几条公平性准则讨论是否存在满足全部公平性准则的选举方法讨论是否存在满足全部公平性准则的选举方法二、引例例例.一个班一个班30名学生从名学生从 A,B,C,D共共4支球队中投票支球队中投票选举喜爱的球队选举喜爱的球队,每每个学生将球队从第个学生将球队从第1名排到第名排到第4名名.票数票数11109

3、第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABB B是获胜者吗？是获胜者吗？但是近但是近2/3投票人将投票人将B排到排到最后一名最后一名.C是获胜者！是获胜者！因为不仅没有人将因为不仅没有人将C排到最后，而且把排到最后，而且把C排在第排在第1名的名的只比把只比把B排在第排在第1名的少名的少1人人.D是获胜者！是获胜者！因为没有人把因为没有人把D排到第排到第2名以名以后后.三、5种选举方法票数票数11109第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABB简单简单多数法多数法：得到得到第第1 1名票数最多的候选人为获胜者名票数最多的候选人为获胜者.优点优点：易于实施

4、：易于实施.结论：结论：按照按照简单多数法获胜者是简单多数法获胜者是B！缺点缺点：没有考虑除投票人把哪位候选人：没有考虑除投票人把哪位候选人排在第排在第1 1名以外的全部排序信息名以外的全部排序信息.三、5种选举方法票数票数11109第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABB单轮决胜法单轮决胜法：得到：得到第第1名票数最多和次多名票数最多和次多的两位候选人进入的两位候选人进入决胜投票决胜投票，由，由简单多数法确定决胜投票的获胜者，并定为整个选举的获胜者简单多数法确定决胜投票的获胜者，并定为整个选举的获胜者.票数票数11109第第1名名BCC第第2名名CBB假设所有投票人对

5、假设所有投票人对B,C的的偏爱不改变偏爱不改变.结论：结论：按照单轮决胜法按照单轮决胜法获胜者获胜者是是C！三、5种选举方法票数票数11109第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABB系列系列决胜法：决胜法：进行多轮决胜投票进行多轮决胜投票,每轮每轮只淘汰得第只淘汰得第1 1名票数最少的名票数最少的候选人候选人,当当剩下两位候选人时剩下两位候选人时,由简单多数法决定获胜者由简单多数法决定获胜者,并定为整个选举的获胜者并定为整个选举的获胜者.假设假设所有投票人所有投票人对选民的对选民的偏爱不改变偏爱不改变.结论：结论：按照系列决胜法按照系列决胜法获胜者获胜者是是C！票数票数

6、11 10 9第第1名名BCA第第2名名CAC第第3名名ABB票数票数11 109第第1名名BCC第第2名名CBB三、5种选举方法票数票数11109第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABBCoombs法法：与系列决胜法的多轮投票类似，但每轮只：与系列决胜法的多轮投票类似，但每轮只淘汰倒数第淘汰倒数第1名票名票数最多数最多的候选人的候选人.结论：结论：按照按照Coombs法法获胜者获胜者是是D！假设假设所有投票人所有投票人对选民的对选民的偏爱不改变偏爱不改变.票数票数11 10 9第第1名名DCA第第2名名CDD第第3名名AAC票数票数11 109第第1名名DCD第第2名

7、名CDC三、5种选举方法票数票数11109第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABBBorda计数法计数法：对每一张选票：对每一张选票,排倒数第排倒数第1名的候选人得名的候选人得1分分,排倒数第排倒数第2名名的得的得2分分,依此下去依此下去,排第排第1名的得分是候选人的总数。将全部选票中各位名的得分是候选人的总数。将全部选票中各位候选人的得分求和候选人的得分求和,总分最高总分最高的为获胜者的为获胜者.结论：结论：按照按照Borda计数计数法法获胜者获胜者是是D！A：第：第1名名9票，第票，第3名名10票，第票，第4名名11票，票，A总分总分:94+102+111=67C总

8、分总分:104+202=80B总分总分:114+191=63D总分总分:303=90三、5种选举方法票数票数11109第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABB选举方法选举方法获胜者获胜者简单多数法简单多数法B单轮决胜法单轮决胜法C系列决胜法系列决胜法CCoombs法法DBorda计数法计数法D在投票者对候选人同样的偏爱下，在投票者对候选人同样的偏爱下，不同的不同的选举选举方法会导致不同的结果方法会导致不同的结果!在在公认的民主法则和选民的理性行为下公认的民主法则和选民的理性行为下,选举方法应该满足哪些选举方法应该满足哪些公平性准则公平性准则?自然提出的问题：自然提出的问

9、题：哪一种选举办法才是公平的？哪一种选举办法才是公平的？哪位候选人是获胜者不仅取决于选民的偏爱哪位候选人是获胜者不仅取决于选民的偏爱,而且与采用的而且与采用的选选举方法举方法有关有关.213三、5种选举方法1.1.多数票准则：多数票准则：得到第得到第1 1名票数超过选民半数的候选人应当是获胜者名票数超过选民半数的候选人应当是获胜者.简单多数法简单多数法（得到第（得到第1 1名票数最多的候选人为获胜者）名票数最多的候选人为获胜者）满足满足多数多数票准则票准则.单轮决胜法和系列决胜法满足单轮决胜法和系列决胜法满足多数票准则多数票准则.四、选举中的公平性准则 Borda计数法违反计数法违反多数票准则

10、多数票准则.票数票数98541第第1名名CACAB第第2名名DDDBA第第3名名ABBDD第第4名名BCACC例例.27位选民对位选民对4位候选人的位候选人的投票结果投票结果：按照按照Borda计数法计算得分：计数法计算得分：D:223+52=76,C:69，B:51，A:74.获胜者是获胜者是D.但是但是C的第的第1名票数名票数(14)过半数！过半数！存在用存在用Borda计数法计数法决定获胜者决定获胜者违反多数票准则违反多数票准则的选举的选举.四、选举中的公平性准则D与与B对决对决,票数比是票数比是19:112.获胜者准则获胜者准则：如果候选人：如果候选人X在与每位候选人的两两对决中都获胜

11、，那么在与每位候选人的两两对决中都获胜，那么X应当是获胜者应当是获胜者.D与与C对决对决,票数比是票数比是20:10D与与A对决对决,票数比是票数比是21:9D在两两对决中在两两对决中都获胜都获胜.单轮、系列决胜法获胜者是单轮、系列决胜法获胜者是CCoombs法和法和Borda法获胜者是法获胜者是D若某种选举方法确定的若某种选举方法确定的获胜者不是获胜者不是D,那么它就那么它就违反获胜者准则违反获胜者准则!简单多数法、单轮和系列决胜法违反获胜者简单多数法、单轮和系列决胜法违反获胜者准则准则!票数票数11 10 9第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABB简单多数法获胜者是

12、简单多数法获胜者是B四、选举中的公平性准则3.失败者准则：失败者准则：如果候选人如果候选人Y在与每位候选人的两两对决中都未获胜在与每位候选人的两两对决中都未获胜,那么那么Y不应不应当是获胜者当是获胜者.若某种投票方法确定的若某种投票方法确定的获胜者是获胜者是B,那么它就那么它就违反失败者准则违反失败者准则!简单多数法违反失败者准则简单多数法违反失败者准则!票数票数11 10 9第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABB简单多数法获胜者是简单多数法获胜者是BB与与D对决对决,票数比是票数比是11:19B与与C对决对决,票数比是票数比是11:19B与与A对决对决,票数比是票数

13、比是11:19B在两两对决中在两两对决中未获胜未获胜.四、选举中的公平性准则4.无关候选人独立性准则：无关候选人独立性准则：假定在最终排序中假定在最终排序中候选人候选人X领先于候选人领先于候选人Y，如果其他，如果其他一位候选人退出选举，或者一位新的候选人进入选举，那么在最终排序中一位候选人退出选举，或者一位新的候选人进入选举，那么在最终排序中候选人候选人X仍领先于候选人仍领先于候选人Y.用系列决胜法最终排序是用系列决胜法最终排序是C,B,A,D.票数票数11 10 9第第1名名DCA第第2名名CDD第第3名名AAC票数票数11 109第第1名名DCD第第2名名CDCB退出退出,偏爱不变偏爱不变

14、淘汰淘汰A,进入第进入第2轮轮B退出退出,其余球队最终排序是其余球队最终排序是D,C,A.系列决胜法违反独立性准则系列决胜法违反独立性准则.选举喜爱球队选举喜爱球队票数票数11 10 9第第1名名BCA第第2名名DDD第第3名名CAC第第4名名ABB四、选举中的公平性准则5.单调性准则单调性准则：假定候选人假定候选人X在在一次选举的最终排序中居于某个一次选举的最终排序中居于某个位置，如果某位置，如果某些选民些选民只将只将X的顺序提前的顺序提前而其他候选人的排序不变，那么对于新的选举而其他候选人的排序不变，那么对于新的选举X在最终在最终排序中的位置排序中的位置不应在原来位置的后面不应在原来位置的

15、后面.简单多数法和简单多数法和Borda计数法显然满足单调性准则计数法显然满足单调性准则.单单轮决胜法和系列决胜法就违反单调性准则轮决胜法和系列决胜法就违反单调性准则!若选民对若选民对X的排序没有后移，那么最终排序中的排序没有后移，那么最终排序中X相对其他候选人的相对其他候选人的优先性不应改优先性不应改变变.四、选举中的公平性准则简单多数法、单轮决胜法、系列决胜法满足多数票准则，简单多数法、单轮决胜法、系列决胜法满足多数票准则，Borda计数法违计数法违反多数票准则反多数票准则.简单多数法、单轮和系列决胜法违反获胜者准则简单多数法、单轮和系列决胜法违反获胜者准则.简单多数法违反失败者准则简单多

16、数法违反失败者准则.系列决胜法违反独立性准则系列决胜法违反独立性准则.简单多数法、简单多数法、Borda计数法满足单调性准则，单轮决胜法、系列决胜法违反计数法满足单调性准则，单轮决胜法、系列决胜法违反单调性准则单调性准则.四、选举中的公平性准则2134Arrow：“我开始有种想法，：“我开始有种想法，也许不存在满足所有我认为是合理也许不存在满足所有我认为是合理条件的选举方法条件的选举方法，我着手去证明这点，实际上只用了不过几天，我着手去证明这点，实际上只用了不过几天时间”。时间”。1951年年 Arrow列出自己的公平性准则，并且为找不到满足所有准列出自己的公平性准则，并且为找不到满足所有准则

17、的选举方法而困扰，他不断修正提出的准则，一再尝试，但则的选举方法而困扰，他不断修正提出的准则，一再尝试，但是没有结果。是没有结果。Arrow不可能性定理不可能性定理(修正版本修正版本)：任何选举方法都至少违反下列：任何选举方法都至少违反下列4条准则条准则之一：多数票准则、获胜者准则、独立性准则、单调性准则。之一：多数票准则、获胜者准则、独立性准则、单调性准则。五、Arrow 不可能性定理肯尼斯肯尼斯约瑟夫约瑟夫阿罗阿罗美国经济学家，于美国经济学家，于1972年获诺贝尔经济学奖。年获诺贝尔经济学奖。2002年法国总统选举中进入初次投票的有年法国总统选举中进入初次投票的有16位候选人位候选人.候选

18、人候选人ChiracLe PenJospinBayrou得票百分比得票百分比 19.88%16.86%16.18%6.84%得票最多和次多的希拉克得票最多和次多的希拉克(Chirac)和勒庞和勒庞(Le Pen)进入进入决胜投票决胜投票.结果结果希拉克希拉克以以82%的绝对优势的绝对优势获胜获胜。六、应用案例例例.用用单轮决胜法单轮决胜法进行的进行的2002年法国总统选举年法国总统选举希拉克希拉克著名右翼政治家，勒庞著名右翼政治家，勒庞极右翼政治家极右翼政治家(有有60%以上选民反对他以上选民反对他)，若斯，若斯潘潘左翼政治家左翼政治家.在初次投票中希拉克、勒庞和若斯潘在初次投票中希拉克、勒庞

19、和若斯潘(Jospin)3位候选人位候选人得票都超过得票都超过15%且且相相差不大差不大.希拉克和若斯潘本是被看好能够进入决胜投票的势均力敌的两位候选人希拉克和若斯潘本是被看好能够进入决胜投票的势均力敌的两位候选人,但但勒勒庞以稍多一点的票数挤掉了若斯潘庞以稍多一点的票数挤掉了若斯潘.如果如果不用单轮决胜法而采用不用单轮决胜法而采用系列决胜法系列决胜法，希拉克和若斯潘希拉克和若斯潘最终最终将有一场决战，将有一场决战，结果难料结果难料.候选人候选人ChiracLe PenJospinBayrou得票百分比得票百分比19.88%16.86%16.18%6.84%六、应用案例假定假定在初次投票中有在

20、初次投票中有1%的选民将原来投给勒庞的票的选民将原来投给勒庞的票转投希拉克转投希拉克，使勒庞的得票低于若斯潘使勒庞的得票低于若斯潘.候选人候选人ChiracLe PenJospinBayrou得票百分比得票百分比19.88%16.86%16.18%6.84%决胜投票将是希拉克和若斯潘竞选决胜投票将是希拉克和若斯潘竞选，而一旦若斯潘获胜而一旦若斯潘获胜(这是可能的这是可能的)，就就违反了单调性准则违反了单调性准则.按照选民最初的真实意愿是希拉克位居第按照选民最初的真实意愿是希拉克位居第1，而有利于希拉克的，而有利于希拉克的1%选民的转投这一点点改变选民的转投这一点点改变，却可能使希拉克在最终排序

21、中落到却可能使希拉克在最终排序中落到第第2位位。20.88%15.86%六、应用案例法国总统选举法国总统选举的实例的实例清楚地说明清楚地说明单调性准则的重要性单调性准则的重要性。那些最偏爱希拉克将他。那些最偏爱希拉克将他排到第排到第1位的选民，可能会伤害希拉克在最终排序中的位置！位的选民，可能会伤害希拉克在最终排序中的位置！偏爱希拉克偏爱希拉克的的选民选民的的最佳最佳策略是把一部分票投给勒庞策略是把一部分票投给勒庞,增加勒庞领先若斯潘进增加勒庞领先若斯潘进入决胜投票的入决胜投票的机会机会,以避免让若斯潘进入有可能胜过希拉克的决胜投票以避免让若斯潘进入有可能胜过希拉克的决胜投票.虚假投票虚假投票

22、投票不反映选民的真实意愿，而是帮助所喜爱的候选人最终得到投票不反映选民的真实意愿，而是帮助所喜爱的候选人最终得到某个位置某个位置.六、应用案例候选人候选人ChiracLe PenJospinBayrou得票百分比得票百分比19.88%16.86%16.18%6.84%20.88%15.86%选举选举问题问题可以看作可以看作公理化建模公理化建模过程过程：提出的公平性准则认为是提出的公平性准则认为是无无需证明的公理需证明的公理,从公理出发进行从公理出发进行逻辑推理逻辑推理,公理公理不合适不合适(过严、过多过严、过多甚至相互矛盾甚至相互矛盾)会导致得不到满足公理的结论会导致得不到满足公理的结论,公理

23、不充分公理不充分(过松、过松、过少等过少等)可能无法推出结果或结果不唯一可能无法推出结果或结果不唯一,所以所以建模建模过程过程常常需要常常需要多次反复多次反复.七、小节参考文献1.姜启源，谢金星，叶俊姜启源，谢金星，叶俊.数学模型数学模型（第四版）（第四版）.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2011.2.姜启源，谢金星，叶俊姜启源，谢金星，叶俊.数学模型数学模型（第第五五版版）.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2018.谢谢大家！谢谢大家！本视频课程中的部分图片、视频引自有关图书、网络，特向这些图片、视频的制作者和有关图书的出版者和相关网络表示感谢；因多种原因，事先未与作者和出版社取得联系，特向他们表示歉意。