(3.2.1)--随机过程-第三章-平稳随机过程-3.2.1平稳随机过程及其相关函.pdf

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1、平稳随机过程及其相关函数的谱分解(一)平稳随机过程定义3 设是复值随机过程，且，如果对任意，有则称是复值平稳随机过程。定义2 若存在，则称为原点自相关函数，其中是的共轭。定义1 对每一，有定义在概率空间上的一个复值随机变量，即，其中和是的实部与虚部，且为实值随机变量，则称是复值随机过程。通常简记为)()()(tjttXTttX),(),(tXTt),(PF)(t)(t),(tXTttX),()()(),2121tXtXEtt（),21tt（)2*tX（)2tX（TttX),(TttXE,)(2Ttt21,)()()()(212*1tttXtEXmtEX常数TttX),(平稳随机过程及其相关函数

2、的谱分解讨论三种谱分解：1、周期实平稳随机过程的谱分解2、周期复平稳随机过程的谱分解3、非周期复平稳随机过程的谱分解平稳随机过程及其相关函数的谱分解11112200221122()cos,()sinTTTTmmaX tmtdt bX tmtdtTT1120021121,()TTaX t dtTT ,1,2,mmabm 平稳随机过程及其相关函数的谱分解为互不相关随机变量序列。X()tt ，-()0EX tmmmmX taamtbmtX t 0001()cossin()定理1 设周期实平稳随机过程的谱分解，则可做如下均方收敛的正交调和分解是以随机过程，且其中T1为周期的均方连续的实值平稳2()()

3、0E X tX t 均方收敛的正交调合分解，均方意义下相等。112()2()0,1,2,mnmmnmmnE a aAmnTE b bAmnTE a bm n 00mmEaEaEb1,()0,mnmnmn 平稳随机过程及其相关函数的谱分解证明：为周期函数，也为周期函数，且为偶函数。为周期实函数，由傅立叶变换定理，知可以傅氏变换。对的相关函数作傅氏变换展开ttX),()(B00011112()(cossin)kkkBAAkBkTT (),()cos()sin,TTTTkTTkABdABkdBBkd1111112200222020 k1,2,)(tX)(B11()()()()()()BE X tX

4、tE X tT X tBT平稳随机过程及其相关函数的谱分解其中因为是正交函数组，即,2,1,sin,cos00mtmtm111111210022100220022201 2coscos()sinsin()cossin,TTTTTTTmtntdtmnTmtntdtmnmtntdtm n 111111112210 1120 22221122120 10 2122221224()cos()cos()coscosTTTTmnTTTTE a aEX tmt dtX tnt dtTTB ttmtnt dt dtT 平稳随机过程及其相关函数的谱分解于是有21tt 令中并代入上式得11112200122221

5、1110 10 21242cos()coscosTTTTmnkkAE a aAkttTTTmtnt dt dt 111111112200 10 2123221220120 1322110 21248coscoscos()coscosTTTTTTTTkkAmtnt dt dtTAkttmtTnt dt dt 平稳随机过程及其相关函数的谱分解等号右边第一个积分为零，故有coscoscoscossinsinmnTTTTkkE a aAmtntTktktktkt dt dt 1111220 10 2322110 10 20 10 2128coscoscoscoscossincossinTTTTkkTT

6、TTAmtkt dtntkt dtTmtkt dtntkt dt 11111111220 10 110 20 2232211220 10 110 20 222281131118222()()()mnkmkTTE a aAmknkAmnTT 平稳随机过程及其相关函数的谱分解可简化为120()mnmmnE b bAmnTE a b 同理20001220001000010010222()(cossin)()(cossin)(cossin)()()(cossin)mmmXmmmmmmmmmE X tamt bmtaBEaEamt bmtE aamt bmtEX t aE X tamt bmt 平稳随机

7、过程及其相关函数的谱分解试证明式的均方收敛性证明：现在分别计算上式等号右端各项。由有11221122112211222021021111()()()TTTTTTTTEaEX t X l dtdlTAB tl dtdlTT 111120000211120021122()(cossin)()coscos()sinsinTTmmmmTTmE X tamt bmtB tlmldlmtTB tlmldlmtT 平稳随机过程及其相关函数的谱分解由及有由有2001112(cossin)mmmmmEamtbmtAT可算出111120022002()coscos()sinsinTTmTTmB tlmldlAmt

8、B tlmldlAmt 110011120021100012110()(cossin)()()(cossin)mmmmmTTmmmE X tamt bmtATEX t aB tl dlATTEaamt bmt 平稳随机过程及其相关函数的谱分解将以上两式代入式中有将，式的结果带入得2000100111111()(cossin)22(0)2(0)(0)2(0)0mmmXmmXXXmmE X tamt bmtaAABAABBBTTTT 平稳随机过程及其相关函数的谱分解于是式得证，定理1证毕。X()t是以T1为周期的复值平稳过程，定理1的结论仍然成立。进而若所不同的是，在式和分别有1122*(),()

9、mnmmnmE a bBmn E b aBmnTT 112020()sinTTkBBkd 定理2设以T1为周期均方连续复值平稳随机过程，则可做如下均方收敛的正交调和分解：ttX),(0)(tEX)(tX()cossin,()cos()sin,mmmTTmTTmX taamtbmtaX tmtdtTTbX tmtdtT111100012002112021222m1,2,(),()(),()mnmmnmmnmmnmE a aAmn E b bAmnTTE a bBmn E b aBmnTT 11112222平稳随机过程及其相关函数的谱分解周期复平稳随机过程的谱分解同时，该复值平稳随机过程的相关函数

10、也可做如下的傅里叶级数展开：00011112()cossinkkkBAAkBkTT 1111112200222020(),()cos()sinTTTTkTTkABdABkdBBkd 平稳随机过程及其相关函数的谱分解其中证明同定理1。定理3 对复值平稳随机过程作复数形式的均方收敛的正交调和分解。是以为周期的均方连续的复值平稳随机过程，且，则可做如下复数形式的均方收敛的正交调和分解：ttX),(1T0)(tEX010122111 0 1()(),jmtmmTjmtTmX tC eCX t edt mT ,mCm1 0 1011()()mnE C CS mmnT 1001200211()(),()(

11、)TjmjmTmBS meS mBedT 平稳随机过程及其相关函数的谱分解其中为互不相关的复值随机变量序列，其相关函数傅氏分解:212223平均功率谱密度：通常称为的谱分解，为的谱分解。201()mE CS mT )(0 mS 0 0 ,1,0,1,mCm)(tX,1,0,1,),(0mmS)(B00000022cos,sinjmtjmtjmtjmteeeemtmtj000001011122mmmjmtjmtmmmmmX taamtbmtaajbeajbe ()cossin()()平稳随机过程及其相关函数的谱分解证明：式均方意义下相等代入三角函数式有：24(),m,(),m,(0011 221

12、1 22奇），偶）mmmmmmmmmmCajbaCCajbbbaa00001-X(t)jmtjmtjmtmmmmmCCeC eC e 101221112()()TjmtTmmmCajbX t edtT 平稳随机过程及其相关函数的谱分解令则进而有故式得证。252621()cossin()()()()(),)0000001110011110012111（其中，mmmjmjmjmmmmmmmmmmmmmmmBAAmBmTTAAjBeAjBeS meTTTSmAjBS mAjBAABB ()()0202jmmmS mAjBBed平稳随机过程及其相关函数的谱分解由式和式，用同样方法可得进而有故式得证。2

13、723证明（）式由、及式，还有1111011112211441 221224411()()()()()()()()()()()()()mnmmnnmnmnmnmnmmmmmmE C CEajbajbE a aE b bjE a bE b aAmnAmnjBmnBmnTTTTAjBmnS mmnTT 故式得证，定理证毕。平稳随机过程及其相关函数的谱分解2526282222上述定理告诉我们，如果平稳过程是以为周期的，则该过程存在正交调和分解。也即有式和式。它的含义是，以为周期的平稳过程不仅可以分解为正交函数组的线性组合，而且其相应的系数也是彼此互不相关的随机变量（见式），通常称这种分解为正交调和分解。ttX),(1T平稳随机过程及其相关函数的谱分解,jmem 01 0 1,mCm 1 0 11T222228小小结平稳随机过程谱分解的含义平稳随机过程谱分解的过程平稳随机过程的功率谱密度函数意义