(4.5.2)--3.5.2矩阵的秩-2.pdf

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1、矩阵的秩矩阵的秩Rank of Matrix令令，设，设,21nA=AA行行（阶梯形）（阶梯形）(1)设设有有 r 个非零行，则个非零行，则 秩秩；A rn=,1(2)设设的主元在第的主元在第列，则列，则是一个极大无关组。是一个极大无关组。A rjjj,21rjjj,21求矩阵秩的求矩阵秩的方法方法：例例求矩阵求矩阵的秩的秩A1511121338111937A=解解 因为因为15111511121307243811000019370000A=行行故故()2rank A=例例已知列向量组已知列向量组，求它的秩，求它的秩及一个极大无关组。及一个极大无关组。12,n 解解以以为列向量构造矩阵为列向量

2、构造矩阵A，并将其用初等并将其用初等行行变换化为阶梯形矩阵，变换化为阶梯形矩阵，12,n 12,nAJ=行行于是于是,A的列向量组的秩为的列向量组的秩为r；J若若有有r 个非零行，则个非零行，则 rank(A)=r，若若有有r 个非零行，且个非零行，且J的主元（各非零行的主元（各非零行的首非零元）在第的首非零元）在第列，列，12,rjjjJ则则的的列构成列构成的列向量组的极的列向量组的极大无关组。大无关组。J12,rjjjJ例例已知列向量组已知列向量组，求它的秩，求它的秩及一个极大无关组。及一个极大无关组。12,n 又初等行变换不改变列向量组的线性相关又初等行变换不改变列向量组的线性相关性，所

3、以性，所以的第的第列列即为即为的列向量组的一个极大无关组。的列向量组的一个极大无关组。A12,rjjjA12,rjjj若若有有r 个非零行，且个非零行，且J的主元（各非零行的主元（各非零行的首非零元）在第的首非零元）在第列，列，12,rjjjJ例例已知向量组已知向量组 121,1,3,1,5,2,8,9,TT=求该向量组的秩和它的一个极大线性无关组。求该向量组的秩和它的一个极大线性无关组。345 1,1,1,3,1,3,5,7,1,3,2,7TTT=15111121333815219377A=解解以以为列向量构造矩阵为列向量构造矩阵125,用初等行变换将用初等行变换将化成阶梯形矩阵化成阶梯形矩

4、阵A15111072440002100000J=由此可知该向量组的秩为由此可知该向量组的秩为3。向量组。向量组即构成该向量组的一个极大线性无关组。即构成该向量组的一个极大线性无关组。124,如果将阶梯形矩阵进一步化成行简化阶梯形矩阵，如果将阶梯形矩阵进一步化成行简化阶梯形矩阵，313100714220107710001200000J=313100714220107710001200000J=可以看出向量可以看出向量与极大线性无关组与极大线性无关组之间的关系，什么关系？请写出之间的关系，什么关系？请写出来。来。124,35,例例对于任意一个矩阵对于任意一个矩阵，我们有，我们有()()TRank

5、ARank A=进一步，可以说明进一步，可以说明矩阵的初等列变换也不矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。改变矩阵的秩。A解解12345,45,A 将向量组按列排成矩阵 将向量组按列排成矩阵A用初等行变换将化为简化阶梯形用初等行变换将化为简化阶梯形12345,求向量组的一个极大无关组 求向量组的一个极大无关组123451121424648,.2311236979 =4K设中的向量组设中的向量组例.该极大无关组中的向量用极大无关组线性表示该极大无关组中的向量用极大无关组线性表示并将不在并将不在12345112 142 46 48(,)2311 23 69 79A =1 01 040 11 030 0

6、0 130 00 00T=12345,求向量组的一个极大无关组 求向量组的一个极大无关组123451121424648,.2311236979 =4K设中的向量组设中的向量组例并将不在并将不在.该极大无关组中的向量用极大无关组线性表示该极大无关组中的向量用极大无关组线性表示1,2,4,T因为 的主元位于第列因为 的主元位于第列312,=124,所以是一个极大无关组.所以是一个极大无关组.1 01 040 11 030 00 130 00 00T=5124433.=+=+123451121424648,.2311236979 =你能将求最大无关组和把其余向量用该你能将求最大无关组和把其余向量用该

7、最大无关组表出一步完成吗最大无关组表出一步完成吗?矩阵的行初等变换不改变矩阵的矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。列向量组的线性关系。例例对于任意一个矩阵对于任意一个矩阵，我们有，我们有()()TRank ARank A=进一步，可以说明矩阵的初等列变换也不进一步，可以说明矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。改变矩阵的秩。A通过对如下阶梯形矩阵的观察通过对如下阶梯形矩阵的观察 ,1211121211222200000000000,0rrrrnnrnrraaaaaaaaaaJaa=不难发现不难发现rank(A)=r：并且：并且有一个有一个r阶子式阶子式不等于零，但不等于零，但J的任一个

8、的任一个r+1阶子式均等于阶子式均等于零，零，由此得，由此得，阶梯形矩阵阶梯形矩阵J的秩等于其非零的秩等于其非零子式的最高阶数子式的最高阶数。J1112122211 220000rrrrrraaaaaa aaa=.174532321的秩求矩阵=的秩求矩阵=A解解中，在中，在 A，阶子式只有一个的又，阶子式只有一个的又AA3.03221，且，且0=A.2)(=Ar例A的秩的秩=A的行秩的行秩=A的列秩的列秩=A的行空间的维数的行空间的维数=A的列空间维数的列空间维数=非零子式的最高阶数非零子式的最高阶数定理定理任意一个非零矩阵任意一个非零矩阵的秩等于其非的秩等于其非零子式的最高阶数。零子式的最高

9、阶数。A定义定义我们称我们称阶矩阵阶矩阵为为满秩矩阵满秩矩阵，如，如果果。An()rank An=命题命题 设设A是是n级矩阵，则级矩阵，则A满秩当且仅当满秩当且仅当0A 对于一般的对于一般的mn矩阵矩阵A，若，若rank(A)=m，则称，则称A是是行满秩行满秩的；若的；若rank(A)=n，则称，则称A是是列满秩列满秩的。的。例例设设sn矩阵矩阵A的秩为的秩为r，则，则A的非零的非零r阶阶子式所在的列（行）构成子式所在的列（行）构成的列（行）向的列（行）向量组的一个极大无关组。量组的一个极大无关组。A其中其中，求矩阵，求矩阵的秩。的秩。A ,0,1,1kmn aakn2122 2212111()()1()()nnmmm naaaaaaAaaa=例例设设 mn矩阵矩阵A为为