(3.2.1)--第9讲向量空间(2).pdf

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1、第第 9 讲讲 向量向量空间空间(2)123411131212,26233248 设设4R.是是的的两两个个基基9.4题题123410211110,02111322 与与1234,如如果果向向量量 关关于于基基的的坐坐标标为为12341234,;A求求由由基基到到基基的的过过渡渡矩矩阵阵1234,如如果果向向量量 关关于于基基的的坐坐标标为为(2)(3)(1)T(1,0,1,0),1234,;求求向向量量 关关于于基基的的坐坐标标T(0,2,1,1),1234,.求求向向量量 关关于于基基的的坐坐标标解解,因因此此1234(,)4.于于是是是是 阶阶可可逆逆矩矩阵阵,A矩矩阵阵为为123412

2、34,设设由由基基到到基基的的过过渡渡12341234(,)(,).A 112341234(,)(,)A (1)那那么么41234,R,为为是是的的基基因因1234,所所以以是是线线性性.无无关关的的111131021121211102623021132481322 622611310072124102111100211132102 15714142122.60742213 1234,因因为为向向量量 关关于于基基的的坐坐标标为为(2)T(1,0,1,0),所所以以123410(,)10 11131121202623132480 00.01 ,因因此此1234,向向量量 关关于于基基的的坐坐标

3、标为为121213443,)00(01yyyy 110210111000211013221 12/5.3/51/5 121341010yyAyy 1234,.我我们们也也可可以以用用公公式式求求向向量量 关关于于基基的的坐坐标标115714141212206074122130 12/5.3/51/5 (3)因因为为2342123402(,),11 A 123402(11,)12340211xxAxx 1234,所所以以向向量量 关关于于基基的的坐坐标标为为 15714140212226074122131 142.32 1234,4,V设设是是 维维向向量量空空间间的的一一个个基基9.5题题11

4、23423,12341234,.23,求求向向量量关关于于基基的的坐坐标标1234,;V证证明明也也是是的的一一个个基基(2)(1)令令3123424,412343238.21234262,解解,根根据据题题目目的的条条件件(1)1234,向向量量组组可可以以由由1234,向向组组线线性性表表示示量量1234,.V 所所以以令令11131212,26233248A 那那么么由由题题目目的的条条件件可可知知12341234(,)(,).A 4,V因因为为向向量量空空间间的的维维数数等等于于1234,并并且且都都1234,证证明明是是线线性性无无关关的的(1)只只需需要要1234,V所所以以要要证

5、证明明是是的的一一个个基基,V在在中中即即12341234r,r(,)4.(1),由由等等式式可可知知1234r(,)4 r()4.A ,因因此此1234,.A是是线线性性无无关关的的等等价价于于是是可可逆逆矩矩阵阵4(,).A I下下面面将将化化为为简简化化阶阶梯梯形形41113100012120100(,)2623001032480001A I 11131000010111000001241000124101 11131000010111000403201001113001 10006226101001310.0010072100012410 11131000010111000012410100012410,A所所以以是是可可逆逆矩矩阵阵,A因因为为的的简简化化阶阶梯梯形形是是单单位位矩矩阵阵并并且且,因因此此162261131007212410.A 1234,.V是是的的一一个个基基(2)(1),由由等等式式可可知知1234,AV是是向向量量空空间间的的由由基基1234123423,关关于于基基因因为为向向量量的的坐坐1234123423,所所以以关关于于基基的的坐坐标标为为T(1,1,2,3),1234,.,到到基基的的过过渡渡矩矩阵阵标标为为121341123yyAyy 622611310072111223410 314.143