(3.4.1)--条件分布与随机变量的独立性.pdf

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1、条件分布与随机变量的独立性 引例引例1 学生成绩 (数学X1,物理X2,外语X3,体育X4)数学成绩好 很可能物理成绩好 可能外语成绩好 体育成绩？引例引例2 财富指标(所得税率X1,居住环境X2,代步工具X3)豪车代步，很可能税率高，居住环境好 无自有住房，很可能税率低，无车代步 一般，要了解随机变量X与Y 之间的关系，则需要研究(X,Y)关于X 和Y 的条件分布。一一.离散型离散型(X,Y)的条件分布律的条件分布律 已知离散型(X,Y)的联合分布律 及X 的边缘分布律 ，则称 P XapP YbXaP Xa Ybpiijiijij|,pi为在在 X=ai 的条件下，的条件下，Y 的条件分布

2、律的条件分布律 pijj 1,2,同理称 P YbpP Xa YbP Xa Ybpjjijijij|,为在在 Y=bj 的条件下，的条件下，X 的条件分布律的条件分布律 i1,2,例例1 设甲、乙两人各进行两次射击，他们每次的命中率分别为0.8和0.6。甲先射击，且甲全部命中时乙的命中率下降10%，甲全部未命中时乙的命中率上升20%，甲命中1次时乙不受影响。令X，Y分别表示甲、乙的命中次数,试分别求X=0,1,2时Y的条件分布律。(X,Y)的联合分布律及边缘分布律如下表：0.04 0.32 0.64 0.04 0.0784 0.04 0.5184 X Y pij 0 1 2 0.04 0.40

3、32 0.32 0.16 0.32 0.48 0.32 0.36 0.64 0.2116 0.64 0.4968 0.64 0.2916 0.18976 0.48768 0.32256 Y X 代公式可得，pP YXp0.040|00.07840.04 0.0784000P YX1|00.4032P YX2|00.51840 1 2 则 X=0 时Y 的的条件分布律条件分布律为 0.0784 0.5184 Y|X=0 0 1 2 P 0.4032 同理可得 0.16 0.36 Y|X=1 0 1 2 P 0.48 0.2116 0.2916 Y|X=2 0 1 2 P 0.4968 Y的条件分

4、布律反映了反映了选手甲的成绩对选手乙的发挥有影响 0.51840.36 0.29160.36 反过来，X的条件分布律的条件分布律为 0.0165 0.7137 X|Y=0 0 1 2 P 0.2698 0.033 0.652 X|Y=1 0 1 2 P 0.315 0.0643 0.5786 X|Y=2 0 1 2 P 0.3571 X的条件分布律反映了反映了由乙的成绩可以反观甲的发挥：乙的成绩差则甲的发挥较好；乙的成绩好则甲的发挥较差。CCiiijjj0.80.20.6 0.42222pP XiP Yj Xiij|P XiP Yj=()()独立射击 联合分布律 若比赛中，甲乙两选手独立射击独

5、立射击，条件分布律如何呢？0.04 0.32 0.64 X Y pij 0 1 2 0 1 2 0.16 0.48 0.36 Y X 0.04 0.16 0.32 0.16 0.64 0.16 0.04 0.48 0.32 0.48 0.64 0.48 0.04 0.36 0.32 0.36 0.64 0.36 Y 的条件分布律 Y|X=0 0 1 2 P 0.16 0.48 0.36 Y|X=2 0 1 2 P 0.16 0.48 0.36 Y|X=1 0 1 2 P 0.16 0.48 0.36 X 的条件分布律 X|Y=0 0 1 2 P 0.04 0.32 0.64 X|Y=1 0 1

6、 2 P 0.04 0.32 0.64 X|Y=2 0 1 2 P 0.04 0.32 0.64 注：注：X,Y的条件分布律变成了的条件分布律变成了X,Y的（无条件）分布律；的（无条件）分布律；X与Y相互“不影响”，它们独立。一般的，若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律与边缘分布律满足 pppijiji j,1,2则，随机变量X与与Y相互独立相互独立。若若X与与Y相互独立，则由相互独立，则由X与与Y的边缘的边缘分布律可以确定分布律可以确定(X,Y)的联合分布律的联合分布律 二二.条件分布函数与条件密度条件分布函数与条件密度 设已知连续型(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)，联合密度函数 f

7、(x,y)，边缘密度函数 f X(x)及 f Y(y)，对 ，固定y，考虑条件概率，0P yYyP Xx yYy()(,)FyFyF x yF x yYY()()(,)(,)F yF yF x yF x yYY()()/(,)(,)/P Xx YyP Xx yYy()()FyFyF x yF x yYYlim()()/(,)(,)/0dydFyyF x yY()(,)fyf x y dxYx()(,)fydxf x yYx()(,)为Y=y 的条件下X 的条件分布函数条件分布函数，记作 F X|Y(x|y)Yf x yfy(,)()称为Y=y 的条件下的条件下X 的条件密度的条件密度 记作 f

8、x yX Y()其中，同理，X=x 的条件的条件下下 Y 的条件分布函数的条件分布函数 Fy xfxdyf x yY XXy()()(,)其条件密度函数为 xy xfff x yYXX(),)()(例例2 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为 求条件密度 .解解 X的边缘密度函数为 f x yxy22(,)1,10,其它Y Xfy x|(|)Xfxf x y dyxxx2()(,)21,|10,|1yox 当|x|1时,有 Y Xfy x|(|)0即 当|x|1 时,有 X 作为已知变量 这里是y的取值范围 X已知的条件下 Y 的条件密度 Y Xfy x|(|)22212 1,110

9、,xxyxy 取其它值特别的，Y Xfy x|(|0.5)y其它13,3/23/20,三三.连续型连续型(X,Y)的独立性的独立性 条件密度函数为 fxfyfy xfx yf x yf x yXYY XX Y()()(),()(,)(,)类似于乘法公式可得 f x yfxfy xfyfx yY XX YXY(,)()()()()结论结论 已知边缘分布和条件分布，则可确定联合分布 若X与Y“相互不影响”，结论如何变化结论如何变化？此时，条件分布转变为无条件分布，即 fy xfyfx yfxY XX YYX()(),()()可得，f x yfxfyx yRXY(,)()()(,)2随机变量随机变量X与与Y 相互相互独立独立 结论结论 若已知X与Y相互独立，则由X与Y的边缘分布可以确定(X,Y)的联合分布 例例3 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为 他其f x yxyxy0,(,)4,01,01,验证 X与Y 相互独立.解解 易求得边缘密度函数，他其fyyyY0,()2,01他其fxxxX0,()2,01f x yfxfyXY(,)()()x yR(,)2所以，X与Y 相互独立.小结小结 随机变量的独立性 条件分布的概念和计算