(1.5.1)--随机过程的功率谱.pdf

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1、 连续时间随机过程的功率谱密度连续时间随机过程的功率谱密度 随机序列的功率谱密度随机序列的功率谱密度随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度1.1.连续时间随机过程连续时间随机过程的的功率谱密度功率谱密度21()lim()2XTTGEXT()()Tj tTTXX t edt 维纳维纳-辛钦辛钦定定理理:对于平稳过程有对于平稳过程有()()XXRG 功率谱密度功率谱密度(Power Spectral Density,PSD)(Power Spectral Density,PSD)的定义：的定义：例例1 1：随机相位信号的：随机相位信号的PSDPSD0()cos()X tAt 其中其中A、0为常数

2、，为常数，在在(0,2)上均匀分布。上均匀分布。自相关函数为自相关函数为20()(/2)cosXRA PSDPSD为为200()(/2)()()XGA ()XG2(/2)A2(/2)A00其中其中ai是均值为零是均值为零,方差为方差为,且且不相关的随机变量序列不相关的随机变量序列。2i()ijtiiX tae*()()()XRE X tXt *2()ikiikE aa ()0iE a解：解：()*2()ikijtjtjikiikiE aa ee 求求X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。例例2 2：随机过程：随机过程为为12()XG2()ijXiiRe 2()2()XiiiG 功率谱密度的性质功

3、率谱密度的性质:(1)功率谱是非负的实功率谱是非负的实函数函数、偶函数、偶函数()()XXGG()0XG*()()XXGG 根据自相关函数与功率谱的关系根据自相关函数与功率谱的关系,0()()(cossin)2()cosXXXGRjdRd 21()(0)()2XXPE XtRGd平稳随机过程平均功率：平稳随机过程平均功率：22(1)22(1)202022(1)22(1)20()mmmXnnnaaaGcbbb (2)如果功率谱具有有理谱的形式，则可以表示为如果功率谱具有有理谱的形式，则可以表示为nm;()XGs零、极点共轭成对零、极点共轭成对jo oo oo oo oS S平面上可能的零、极点位

4、置平面上可能的零、极点位置()()()XXXGGG 101()mXnjjGcjj 101()mXnjjGcjj ()()()XXXGsGs Gs功率谱密度的分解功率谱密度的分解例例3:3:已知功率谱为已知功率谱为2424()109XG 对功率谱进行分解，对功率谱进行分解，并并求自相关函数。求自相关函数。解解:22422244()109(1)(9)(2)(2)(1)(1)(3)(3)22(1)(3)(1)(3)XGjjjjjjjjjjjj ()XG()XG2224()(1)(9)XG 122219kk 222122143(1)(1)(9)8k 222222945(9)(1)(9)8k 223/8

5、5/8()19XG 222e 利用公式利用公式335()1648XRee 223/85/8()19XG 222232 1523()821863XG 2 2.随机序列的功率谱密度随机序列的功率谱密度21()lim|()|21XNNGEXN()NjnNnNXX n e 定义：定义：其中其中维纳维纳-辛钦定理：辛钦定理：()jmXXmGRm e 1()2jmXXRmGed()mXXmGzRm zaza111()2mXXCRmGz zdzj随机序列功率谱密度随机序列功率谱密度的性质的性质是实的、非负的偶函数是实的、非负的偶函数()XG(1)1()()XXGzGz但要注意但要注意11()()()mmXX

6、XmmmmXXXmmGzRm zRm zRm zRm zGz这是因为这是因为210()2XXRE XnGd(2)平均功率平均功率(3)(3)谱分解谱分解()()()XXXGzGz Gz功率谱中所有零功率谱中所有零极点在单位圆内极点在单位圆内的那一部分的那一部分功率谱中所有零功率谱中所有零极点在单位圆外极点在单位圆外的那一部分的那一部分例例4 4：1X nW nW n2 WRmm 2 (1)(1)1 111)2 11)XRmE X nm X nE W nmW nmW nW nW nm W nW nmW nEW nm W nW nmW nmmm 21()(2)XGzzz()()(1)0E X nE

7、 W nE W n解：解：其中其中 0E W n求求Xn的功率谱。的功率谱。2122()(2)|(2)2(1cos)jXz ejjGzzee 1()()XGzg zz对于有理谱，总是可以表示为对于有理谱，总是可以表示为()(cos)XGf 小结：小结：连续时间随机过程的功率谱密度连续时间随机过程的功率谱密度21()lim()2XTTGEXT()()XXRG 性质：功率谱密度是非负的实偶函数；性质：功率谱密度是非负的实偶函数；谱分解谱分解()()()XXXGGG()()()XXXGsGs Gs对于平稳随机过程对于平稳随机过程定义：定义：小结：小结：随机随机序列序列的功率谱密度的功率谱密度21()lim|()|21XNNGEXN 定义：定义：性质：性质：是非负的实偶函数；是非负的实偶函数；对于平稳随机过程对于平稳随机过程()XXRmG()XXRmGz()XG谱分解谱分解()(cos)XGf 1()()XGzf zz()()()XXXGzGz Gz