(5.1.1)--4.1李雅普诺夫稳定基础.pdf

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1、现代控制理论Modern Control Theory第4章：稳定性与李雅普诺夫方法第4章：知识点4.1 李雅普诺夫稳定基础4.2 李雅普诺夫第一法和第二法4.3 李雅普诺夫第二法的应用给定一个静止的系统：（1）给定初始扰动，它是否会恢复到静止状态；（2）在持续扰动下，系统的输出是否有界。不同的稳定性概念：（1）李雅普诺夫意义下的稳定性；（2）输入输出稳定性李雅普诺夫方法：李雅普诺夫第一方法：利用矩阵特征值；李雅普诺夫第二方法：利用能量函数（直接法）；李雅普诺夫(1857-1918)，1892年在博士论文中提出稳定性理论。1907(15年后)出版了法文版；1992(100年后)出版了英文版，当

2、今任何一本控制期刊都有李雅普诺夫的名字。4.1 李雅普诺夫稳定基础李雅普诺夫稳定性（1）平衡状态；（2）通过系统能量来分析稳定性；（3）李雅普诺夫函数；关键：选取适当的李雅普诺夫函数，给出判别其增加还是减小的方法。一般采用二次型函数定号性判据。（1）平衡状态自治系统模型：f(x,t)=Ax0，当A为非奇异矩阵时，有唯一平衡状态；当A为奇异矩阵时，有无穷多平衡状态；假定：初始条件x(t0)=x0，自治系统有唯一解x(t)=(t;x0,t0)使得f(xe,t)=0成立的状态xe称为是平衡状态。一个系统可能没有平衡状态，或者存在一个平衡状态或存在无穷多个平衡状态。xf x=t(,)4.1 李雅普诺夫

3、稳定基础假定：零状态是自治系统的平衡状态，则xx=ft(,)ft(0,)0n维空间中的任意一个点x=x1 x2 xnT到原点的距离x=+xxxn.12222称为欧几里得范数。半径为r的球域：；状态轨线x(t)=(t;x0,t0)满足xx=S rr()|xttr(;,)00定义：对自治系统的平衡状态xe=0，若对任意给定的0，存在一个 0，使得只要状态轨线的初始状态满足，由该初始状态出发的状态轨线满足；那么，系统的平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下稳定的。xx=ft(,)x0 xtt(;,)00 xx=ttt()(;,)004.1 李雅普诺夫稳定基础定义：对自治系统的平衡状态xe=0，若该平

4、衡状态xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的，且当t时，始于原点小邻域的轨线满足x(t)0，则平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。xx=ft(,)系统稳定性还包括：1.渐近稳定性，是局部性质；需要确定渐近稳定域，吸引域。2.大范围渐近稳定。3.不稳定，无论从原点多小领域中出发的状态轨线都难以保持在原点的小邻域中。（2）能量函数李雅普诺夫稳定性理论建立了系统能量与稳定性之间的关系。需要有一个抽象的能量函数来描述系统的虚拟能量。4.1 李雅普诺夫稳定基础能量函数：状态和时间的标量函数V(x,t)，其符号性质包括：1）正定：对所有非零x,V(x)0,V(0)=0；2）负定：与正定定义类似，且

5、V(x)负定则-V(x)正定；3）半正定：对所有非零x,V(x)0,V(0)=0；4）半负定：V(x)半负定则-V(x)半正定；5）不定：无论在原点的多么小领域内V(x)既可以取到正值，也可以取到负值。（3）二次型函数二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作用。设x1,x2,x1n为n个变量，定义二次型标量函数为：x Pxx=pppxVp x xxxxpppxpppxnnnnnijijijnnnnn()121112T2122221112114.1 李雅普诺夫稳定基础矩阵 P 的符号性质定义如下：设P 为nn实对称方阵，V(x)=xTPx为由P 所决定的二次型函数。设实对阵

6、矩阵：由此可见，矩阵P 的符号性质与由其所决定的二次型函数xTPx的符号性质完全一致。因此，要判别V(x)的符号只要判别P 的符号即可。而后者可由塞尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。（4）塞尔维斯特(Sylvester)判据P=pppppppppppnnnnijjinn,122122211121做记，)定正非(定负半为称则，)定正非(定负半若4)做记，)定负非(定正半为称则，)定负非(定正半若3)做记，定负为称则，定负若2)做记，定正为称则，定正若1)P PP PPPPPV xV xV xV x()0()0()0()04.1 李雅普诺夫稳定基础矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：P=

7、pppppn,|212211121112为其各阶顺序主子行列式：=ini(1,2,)，的)定正非(定负半或则，数奇为若偶为的)定负非(定正半为或则，若=数奇为的定负为或则，若数偶为的定正为或则若PPPP=iniV xiinViniViinV xiiii04)0,()0,0,3)(x)0,1,2,-10,2)(x)0,1)0 (1,2,),()4.1 李雅普诺夫稳定基础计算三个顺序主子式行列式：因此，二次型是正定的。例1 验证以下二次型是正定的。x=+Vxxxx xx xx x()104224123122313222xx Px=xVxxxxx211()141101231232T1=21114100,det0,det141010110121234.1 李雅普诺夫稳定基础解 将其写成实对称矩阵形式：