(6.2.1)--5.2.1极点配置问题——状态反馈.pdf

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1、现代控制理论Modern Control Theory第5章：线性定常系统的综合第5章：线性定常系统的综合问题问题1：什么是极点配置？：什么是极点配置？经典控制理论中，采用传递函数模型，利用输出量作为反馈量，改变系统的极点，称为极点配置。+=+U sG s H ssasa saW sY sG sbsbsbnnnnn()1+()()()()()11011101 极点位置直接决定了闭环系统的性能问题问题2：为什么要采用极点配置？：为什么要采用极点配置？实部决定收敛速度，虚部决定振荡强度 对极点是否可以配置的研究，解决了控制是否有解的问题问题问题3：什么样的系统可以采用极点配置？如果可以，如何配置？

2、：什么样的系统可以采用极点配置？如果可以，如何配置？状态反馈、输出反馈、5.2 极点配置极点配置5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点bvy=cxbKxAx=+()K是1n 维的矢量1.状态反馈的极点配置问题给定n阶线性定常系统：确定状态反馈控制u=kx+v，使得状态反馈闭环系统的极点为期望值。A b c=(,)0 xAxbuy=cxx=+=t(0)00n,12为期望的闭环极点(实数极点或共轭复数极点)=ini(1,2,)IAbK+det()状态反馈闭环系统的特征多项式：=+=faaaiinnnn()()11101期望极点所决定的期望的特征多项式：IAbK+=fdet()()要求：解读：解读

3、：解决两个问题：1）极点任意配置的条件 2）极点任意配置的方法5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点能将化成能控标准I型：0yc xxAxbu=+1)若完全能控，必存在非奇异变换：0 xT x=cI式中bTb =cI1001ATAT=aaaancIcI00010010010001211ccT=b bbcIn(,)011WcIAb+=+sasa sassbsbsbsbnnnnnnn()()110101210112受控系统的传递函数为：0充分性：定理3 采用状态反馈对系统任意配置全部极点任意配置全部极点的充要条件是完全能控。A b c=(,)002.状态反馈极点可配置的条件能控任意配置极点IAb

4、K+=fdet()()5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点2)加入状态反馈增益阵：K=kkkn(,)011可求得对的闭环状态空间表达式：xyc xxAb K xb=+v()WcIAbKb+=+=+saksak sakssbsbsbsbnnnnknnnn()()()()()11110011210112闭环传递函数为：式中A bK+=akakakaknn()()()()00010010010000112211仍然是能控标准型闭环特征多项式为：IA bK=+=+fakakaknnnn()()()()()1111001可通过调节 K 的各元素值来调整特征方程的系数，所以的特征值可以任意选择，即极点

5、可以任意配置。A bK+5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点3)闭环极点与期望极点相符，要满足：=+=ffaaaiinnnn()()()11101由等式两边同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数：=kaainiii(0,1,1)得：K=aaaaaann,0011114)把对应于的通过逆变换，得到对应于状态的。xKxKKKT=cI1xT x=cIxTx=cI1TxAb K Txb=+vcIcI()11xAb K xb=+v()xTAb K TxT b=+vcIcIcI()1T ATT b KTxT b=+vcIcIcIcIcI()11AbK xb=+v()bb可找到状态反馈矩阵，使系统极点为

6、期望极点，即极点可以任意配置。KKT=cI1充分性得证5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点必要性：任意配置极点能控反证法，已知极点可以任意配置，反设系统不完全能控。由于系统不完全能控，故存在非奇异线性变换阵 Rc,对系统进行能控性分解而导出：AAR ARAA=cccc0112bR bb=cc01对于任一状态反馈矩阵，有。KK K=,12)(KKRK K=c,12)(IAbKIRAbK R+=+ccdet()det()1特征多项式：IR ARR b KR=ccccdet()()11IAIAb KAb K=cccc0det1122IAb KIA=cccdet det15.2 极点配置一、采用状

7、态反馈配置极点实际问题中，几乎所有的系统都是可控的，因此，通常总可以利用状态反馈来控制系统的特征值，即振型，这是状态反馈的重要特征之一。若系统不完全能控，则不能控部分的状态变量将不受输入量的控制，其对应的极点是不可配置的。IAb KIAcccdet det1状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值不能改变系统不能控部分的特征值，系统不能任意配置全部极点。与系统可任意配置极点的已知条件矛盾，故反设不成立，即系统是完全能控的。必要性得证5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点3.极点配置方法步骤：规范算法1）判断被控系统的能控性：2）计算原系统的特征多项式：3）计算期望极点决定的期望特征多项式：4）

8、计算能控标准型下系统的状态反馈矩阵：5）计算能控标准I型的变换矩阵：6）计算状态反馈矩阵：=+faaannn()1101KK=aaaaaann,001111QrankocKKT=cI1=+=faaaiinnnn()()111015.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点例：例：设受控对象传递函数：利用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1j。解：1）判断系统的能控性 =+xxxxuxx002101100100332211A=002011010b =100Qb Ab A b=rankoc(,)32能控Qb Ab A b=oc12 4(,)0130012x=y10 0 0)(5.2 极点配置一、采用状态

9、反馈配置极点闭环极点：-2，-1j。=+=+fjj()(2)(1)(1)464*323）计算期望的特征多项式：A=002011010b =1004）计算能控标准型下系统的状态反馈矩阵：=04,26,34k=aaaaaa,001122=4,4,12）计算原系统的特征多项式：IA=f()+=+00201110=+(1)(2)=+3232=aaa0,2,30125.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点6）计算状态反馈矩阵：kkT=c11=011 4,4,1 010100=4,3,15）计算能控标准I型的变换矩阵：TA b Ab b=aaac1421231(,)10310310100100100121

10、22=011010100T=c01101010011A=002011010b =1005.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点3.极点配置方法步骤：解联立方程待定系数法（系统维数较低）1）判断被控系统的能控性：2）计算状态反馈系统闭环特征多项式：3）计算期望极点的特征多项式：4）根据求出K。QrankocIA bK=+=f()()0=+faaannn()110*1=ff()()*5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点例：例：设受控对象传递函数：利用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1j。解：1）判断系统的能控性2）设状态反馈阵，计算状态反馈系统闭环特征多项式：k=kkk012)(IA bk=+

11、=+fkkkk()()(3)(2)212032Qb Ab A b=rankoc(,)32能控 =+xxxxuxx002101100100332211x=y10 0 0)(A=002011010b =1005.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点4）根据求出；=ff()()*k k k,012=kkkk342642120k=431)(+=+kkkk(3)(2)46421203232=kkk1342103）由期望的闭环极点写出期望的状态反馈系统的特征多项式：闭环极点：-2，-1j。=+=+fjj()(2)(1)(1)464*325.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点引入状态反馈后闭环系统的传递函

12、数：W+=+sasa sasbsbsbsbnnnonnnn()1101121012Wc IAbbK+=+=+kkksasasassbsbsbsbnnnknnnnn()()()()()11011011210112单输入单输出受控系统的传递函数为：A b c=o(,)WcIAb=sso()()1的对应的传递函数：0相同改变k 调配极点4.状态反馈对传递函数零点的影响对于单输入系统，状态反馈不改变系统零点，但可能改变系统的能观测性。对于单输入系统，状态反馈不改变系统零点，但可能改变系统的能观测性。当任意配置极点导致零极点对消时，原有的观测性可能变为不能观测，也有可能使原有的不能观测性能变为能观测的。对象不含零点时，状态反馈自然能保持原有观测性能。