(6.4.3)--12.3.3幂级数的运算.pdf

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1、第12章 无穷级数 高等数学 12.3.3幂级数的运算 1.代数运算代数运算:(1)加减法加减法 =00nnnnnnxbxa.0=nnnxc21,minRRR=(其中其中 )nnnbac=()()RRx,2100RRxbxannnnnn和的收敛半径各为和设和的收敛半径各为和设=(2)乘法乘法 )()(00=nnnnnnxbxa.0=nnnxc()()RRx,柯柯西西乘乘积积 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba231xxx(其中其中 )0110nnnna ba bbca+=+=+(3)除法除法 )0(0

2、 =nnnxb收敛域内收敛域内=00nnnnnnxbxa.0=nnnxc(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)常用已知和函数的幂级数;11)1(0 xxnn=;11)1()2(202xxnnn+=+=性质 1 幂级数0nnna x=的和函数()s x在其收敛域上连续.性质 2 幂级数0nnna x=的和函数()s x在其收敛域上可积，并有逐项积分公式 000()xxnnns x dxa x dx=2.幂级数的和函数的性质幂级数的和函数的性质:10001nxnnnnnxax dxan+=+=+=+幂级数=1nnnxa的和函数)(xs在其收敛区

3、间),(RR 内可导，且有逐项求导公式 0()nnns xa x=逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径收敛半径()()100nnnnnna xna x=性质性质3 解解 显然显然()()01.s=于是于是 10().1nnxxs xn+=+=+=+利用性质，逐项求导，并由利用性质，逐项求导，并由 例例1 在区间在区间()()1,1 内求幂级数内求幂级数 01nnxn=+和函数和函数.的的 0(),1nnxs xn=+=+即即()(),s x设和函数为设和函数为 211,(11)1nxxxxx=+=+得得 10()1nnxxs xn+=+=+=

4、+对上式从对上式从 0到到 x积分，得积分，得 01()1xxs xdxx=于是，当于是，当 0 x 时时，从而从而 01.1nnxx=ln(1)x=1()ln(1)s xxx=有有 1ln(1),01,()1,0.xxs xxx=例 2 求级数=11)1(nnnnx的和函数.解解,0)0(=s显然显然两边积分得两边积分得 )1ln()(0 xdttsx+=+=,11x+=+=)11(x()()111()nnnxns x=2()1xxs x=+=+,1时又=时又=x.1)1(11收敛收敛=nnn).1ln()1(11xnxnnn+=+=)11(x),1ln()(xxs+=+=)1ln()0()(xsxs+=即+=即 谢谢，再见！