(5.7.1)--11.6.1第二类曲面积分的概念和性质.pdf

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1、第11章曲线积分与曲面积分高等数学第二类曲面积分的概念和性质一、第二类曲面积分的概念与性质().例如，设曲面例如，设曲面S由方程由方程(),=zz x y给出给出，(),z x y在区域在区域xyD上有连续的偏导数，则曲面上有连续的偏导数，则曲面的法向量为的法向量为 ,1=xynzz.当当 1,=xynzz时时,表示曲面的表示曲面的上侧上侧(法法向量向上，即向量向上，即第三个分量应大于零第三个分量应大于零，也就是，也就是法法向量与向量与z轴正向的夹角轴正向的夹角 为锐角为锐角.）同理，当）同理，当 11,=xyxynzzzz表 示 曲 面 的 下表 示 曲 面 的 下侧。侧。.0 0 0 0

2、cos cos cos n1.,iinSSxoy把把块块小小曲曲面面在在分分成成面面上上的的(),(,),ixyiiiiSS 为为为为上上任任意意取取定定投投的的一一点点影影R x y z(,)设设是是光光滑滑的的,函函数数向向曲曲面面在在有有上上有有界界.(,)R x y z 则则称称此此极极限限为为函函数数在在有有向向曲曲面面 上上对对,x y(也也称称坐坐标标的的曲曲面面积积分分第第二二类类曲曲面面积积分分)0 块块曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值时时,这这和和式式的的极极限限存存1(,)(),niiiixyiRS =作作和和作作乘乘积积并并如如果果当当各各小小在在,(,)R x y

3、 z dxdy01(,)lim(,)()=niiiixyiR x y z dxdyRS(),cos0()(),cos00,cos0ixyixyixyS =()ixyiSxoy 为为投投影影到到面面上上的的投投影影区区域域的的面面积积01(,)lim(,)()=niiiizxiQ x y z dzdxQS01(,)lim(,)()=niiiiyziP x y z dydzPS2.:3.:(,)(,)(,)+P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdyP x y z Q x y z R x y z(,),(,),(,)当当在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在.4.性质性质:()1.+=+=+k PdydzQdzdxRdxdykPdydzQdzdxRdxdy12122.+=+=+PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyP x y z dydzP x y z dydzQ x y z dzdxQ x y z dzdxR x y z dxdyR x y z dxdy3.(,)(,)(,)(,)(,)(,)=表表示示与与 取取相相反反侧侧的的有有向向曲曲面面谢谢，再见！