(3.4.1)--2.4离散时间系统状态方程的解.pdf

《(3.4.1)--2.4离散时间系统状态方程的解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(3.4.1)--2.4离散时间系统状态方程的解.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、现代控制理论Modern Control Theory2.4 离散时间系统状态方程的解离散时间状态方程有两种解法：递推法和Z变换法。递推法也称迭代法，它对定常系统和时变系统都是适用的；Z变换法则只能应用于求解定常系统。递推法线性定常离散时间控制系统的状态方程为：这个一阶矩阵差分方程的解为：xxGxHu=+=+=x kkkkk()(0)(1)()()0或即xG xGHuHuGHuHuxG xG HuxG xGHuG=+=+=+=kkkkkjkjkkkjkjkjkkjk()(0)(0)(1)(2)(1)()(0)(1)()(0)()12010112.4 离散时间系统状态方程的解=+x kGGHGH

2、GHHu kxGG HGHHuxxGGHHuxGHukkkk()(1)(3)0(2)(0)(2)00(1)(1)000(0)123322上式还可以用矢量矩阵形式表示为：上式是按初始时刻k=0得到的，若初始时刻k=h开始，且响应的初始状态为x(h)，则其解为：xxuxxu或=+=+=kGhGHjkGhG Hkjj hj hk hkjk hjkk()()()()()(1)111可以看出，离散系统中的Gk或Gk-h相当于连续系统中的(t)或(t-t0)。类似的，这里也定义=kGk()或=khGk h()2.4 离散时间系统状态方程的解为离散时间系统的状态转移矩阵。离散时间系统的状态转移矩阵，很显然其

3、满足：+=kGk(1)()=I(0)并具有以下性质：=kkkhkhhhkhh()()()()(),()1111利用状态矩阵(k)，离散时间状态方程的解可以表示为：xxuxxu或=+=+=kkkjHjkkj Hkjjjkk()()(0)(1)()()()(0)()(1)0011xxuxxu或=+=+=kkhhkjHjkkhhj Hkjj hj hkk()()()(1)()()()()()(1)112.4 离散时间系统状态方程的解xxu +=+kkk0.16111011)()()(例7 离散时间系统状态方程如下试求当初始状态和控制作用为u(t)=1时，此系统的(k)和x(k)=kGkk)1(0.1

4、601解 根据定义：令，带入原式得相应地有x=101)(按上式直接计算(k)有一定困难，为此，将原状态方程变换为约旦标准型，即将G变为对角型。xx=kTk()()xxu+=+kT GTkT Hk(1)()()11xxu=+=kkHkjkj TT GTT GTjkkk1)()()(0)(),()()011112.4 离散时间系统状态方程的解又求得I+=+=G0.161(0.2)(0.8)00.2,0.8112因此=kkkk()0(0.8)00.800.8,(0.2)00.200.20=TT330.20.815,3311451从而容易求得=+=kkTTkkkkkkkkkk33)0.2)4(0.8(

5、)(0(0.8)0.8(0.2)(0.8)(30.20.815331(0.2)04(0.2)(0.8)5(0.2)(0.8)114512.4 离散时间系统状态方程的解按照xxu=+=kTHkjkjjk(0)()()()1()011先求x k()等式右边第一项为：xx=kk Tkkk()()334(0.8)300.8151(0)(0)331(0.2)0.201451等式右边第二项为：u =T Hkjjjjjjkjkkkjk(8)()1.332 1(0.8)2(0.8)151(1)331.23(0.2)1453 1(0.2)00011112.4 离散时间系统状态方程的解所以x=+=+kkkkkkk

6、1.899(0.8)2 1(0.8)4(0.8)32210()1.2621(0.2)(0.2)1753 1(0.2)因此xx+=+kTkkkkkkk996918(0.8)(0.2)(0.8)0.20.822103.417.67()()62691811(0.2)(0.2)(0.8)1751722252.4 离散时间系统状态方程的解 Z变换法对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z 变换法来求解。设定常离散系统的状态方程是：对上式两端进行 Z 变换，有：或所以：对上式两端取 Z 的反变换，得：IG xxHu=+zzzz()()(0)()xGxHu+=+kkk(1)()()xxGxHu=+zz

7、zzz()(0)()()xIGxIGHu=+zzzzz()()(0)()()11xIGxZIGHu=+kZzzzz()()(0)()()11112.4 离散时间系统状态方程的解对比递推法和Z变换法的公式，有：如果要获得采样瞬时之间的状态和输出，只需在此采样周期内，即在kTt(k+1)T内，利用连续状态方程解的表达式：为表示t的有效期在kTt(k+1)T，可令t=(k+)T(这里01)，于是上式变成：显然，这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的，如果使的值在0和1之间变动，那么便可获得采样瞬时之间全部的状态和输出信息。两者形式上虽有不同，但实际上是完全一样的。GHuIGHG xIGxu=jZz

8、zZzzjkjkk()()()(0)()(0)0111111Buxx=+ttkTkTtkTkTt()()()()()dBuxx+=+kTTkTTkTT()()()()d()02.4 离散时间系统状态方程的解例8 同例7，试用Z变换法求(k)和x(k)解：因，uu=zkzz1()1,()计算状态转移矩阵：=+=+=+=IGzzzzZGkzzzZZzkkkkkkkkk()0.8(0.2)(0.8)(0.2)4(0.8)(z 0.2)(z 0.8)30.1614(0.2)(0.8)5(0.2)(0.8)110.161()111111再计算：xu +=+=zzzzzzzHzzzzzz112(0)()11222.4 离散时间系统状态方程的解所以xxu=+=+zzzGzzzzz zzzzzzIzzzzzzzzzzzzHz)(0.2)(0.8)(1)(0.2)(0.8)(1)(1.84)8)(3.4/6)(17.6/9)(7/1(0.2)(0.8)(1)(0.2)(0.8)(1)(2)(17/6)(22/9)(25/18)()(0)()221因此：xx+=+kZzkkkk6918(0.2)(0.8)3.417.67()()6918(0.2)(0.8)17222512.4 离散时间系统状态方程的解