(4.3.1)--10.2.1直角坐标系下二重积分计算法.pdf

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1、第10章 重积分 高等数学 二重积分的计算法 一、直角坐标系中的计算法 如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续。上连续。)(1x)(2x,baX型型 1 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点。直线与区域边界相交不多于两个交点。(,)(,)Df x y dDzf x y的的值值等等于于以以为为底底，以，以曲曲面面为为曲曲顶顶柱柱体体的体的体积积。应用计算“平行截应用计算“平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积”的方法体求体积”的方法,.),(),()()(2

2、1 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型 2 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点。直线与区域边界相交不多于两个交点。若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割。则必须分割。例例1 1 计算计算 其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及 yx 所围的闭区域。所围的闭区域。解法解法1 1 将将D看作看作X-型区域型区

3、域,则则=d,DIxy dxyxdxxydyxydxxD21121122 81148222124213 xxdxxx 例例1 1 计算计算 其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及 yx 所围的闭区域。所围的闭区域。=d,DIxy解法解法2 将将D看作看作Y-型区域型区域,则则:D2 xy21 y22222112yDyxxydxydx dyydy 8118222142213 yydyyy例例2 计算计算 dyxyD 221，其中，其中 D是由直是由直 xyyx ,1,1所围成的闭区域。所围成的闭区域。线线 解解 将将D看成看成X-型的型的,则则 dxdyyxydyxyxD111112222

4、dxxyx1)1(31112322 dxx 113)1(3121)1(32103 dxx若将若将D看成看成Y-型的型的,则则 其中关于其中关于 x的积分计算比较麻烦的积分计算比较麻烦,所以前一种所以前一种 方法比较简单。方法比较简单。122221111yDyxy dyxy dx dy例例3 计算计算 DydexI 22，其中，其中 D是由直线是由直线 xyyx ,1,0围成的区域。围成的区域。解解 先对先对 y后对后对 x积分积分 Dydex 22由分部积分法，得出定积分为：由分部积分法，得出定积分为：eI3161 10022yydxexdy 102231dyyey积分就会遇到积分积分就会遇到积分 21yxedy。12102xydyexdxI 11022xydyedxx将得不到计算结果。将得不到计算结果。因因 2ye 的积分不能用初等函数来表示的积分不能用初等函数来表示,积分积分 说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分还需交换积分顺序。顺序。若先对若先对 y后对后对 x积分积分 谢谢，再见！