(3.1.1)--3.1量纲分析法.pdf

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1、量纲分析量纲分析法法一、问题背景2134某人质量为某人质量为60kg60kg；量纲指的是物理量单位的种类。量纲指的是物理量单位的种类。质量的量纲质量的量纲 M M 长度的量纲长度的量纲 L L 时间的量纲时间的量纲 T T基本量纲基本量纲一、问题背景2134热热学的基本量纲一般取：质量学的基本量纲一般取：质量 M M 长度长度 L L 时间时间 T T 温度温度 是不是动力学的基本量纲一定取：质量是不是动力学的基本量纲一定取：质量 M M 长度长度 L L 时间时间 T T？电学的基本量纲一般取：质量电学的基本量纲一般取：质量 M M 长度长度 L L 时间时间 T T 电流强度电流强度 I.

2、I.动力学的基本量纲一般取：质量动力学的基本量纲一般取：质量 M M 长度长度 L L 时间时间 T T一、问题背景量的名称量的名称量纲量纲单位名称单位名称单位符号单位符号长度长度L米米m质量质量M千克千克Kg时间时间T秒秒S电流强度电流强度I安培安培A热力学温度热力学温度开尔文开尔文K发光强度发光强度J坎德拉坎德拉Cd物质的量物质的量N摩尔摩尔mol一一个物理量个物理量Q的量纲记为：的量纲记为：QJL M T IN Q物理量物理量Q的量纲一般表示的量纲一般表示为基本量的乘幂之积为基本量的乘幂之积，2018年千克(kg)、开尔文(K)、摩尔(mol)、安培(A)这几个国际单位制中的基本单位被重

3、新定义。2019年5月20日(也就是世界计量日)，新的定义开始生效。一、问题背景一、问题背景动力学中基本动力学中基本量纲量纲 L,M,T：速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量，=1(=L0M0T0)=fl2m-2二、量纲122m mfkr212frkm m=LMT-2 L2M-2=L3M-1T-2k量纲分析量纲分析是是2020世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。方法。量纲一致性原则量

4、纲一致性原则量纲齐次原则量纲齐次原则三、量纲齐次原则量纲齐次原则量纲齐次原则：等号两端必须保持量纲的一致性。：等号两端必须保持量纲的一致性。量纲分析量纲分析在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。理量之间的关系。例：单摆运动例：单摆运动求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式四、量纲分析法 单摆运动中单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf4321yyyyglmty1y4 为为待定常数待定常数,为为无量纲量无量纲量201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt（1）

5、对比对比四、量纲分析法1234001 1()0100()1 002()()()()()LAMTtygyylym1234 (2,0,1,1)Tyyyyy 342142000yyyyyLM TL M T001010100102 tL M TmL M TlLM TgLM T3124001010100102000()()()()yyyyL M TL M TLM TLM TL M T3124yyyyt m l g342140020yyyyy211=t l g量纲量纲矩阵矩阵0Ay()3R A 2ltg=lt gE.Buckingham,Phys.Rev.,Vol.4,No.4,p.32,1914白金汉白

6、金汉Pi定理定理(Buckingham)四、量纲分析法设设 f(q1,q2,qm)=0mjXqniaijij,2,1,1ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-rF(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价,F未定未定。是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn是基本量纲是基本量纲,n m,q1,q2,qm的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作rA rank若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,

7、且且则则物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v,船体尺寸船体尺寸l,浸没面积浸没面积 s,海水密度海水密度,重力加速度重力加速度g.0),(fsvlg物理模拟物理模拟:按照一定的按照一定的比例尺寸比例尺寸构造它的物理模型构造它的物理模型,通过通过对模型的研对模型的研究得出原型的结果究得出原型的结果.量纲分析可以指导物理模拟中量纲分析可以指导物理模拟中比例尺寸比例尺寸的确定的确定.五、量纲分析法在物理模拟中的应用0),(fsvlg定理定理原型原型船：船：模型模型船：船：gvlsf,模型船的模型船的均已知均已知gvls,当原型船的当原型船

8、的给定后计算给定后计算 f物理模拟：物理模拟：五、量纲分析法在物理模拟中的应用3111/21/22123,f l gvlgl s323(,)fl g 323232(,),vsfl g lg l 同上，323232(,),vsfl g lgl待定，llvv2)(llss模拟条件模拟条件量测模型船阻力量测模型船阻力f，可计算，可计算 f.按一定尺寸比例建造按一定尺寸比例建造模型船模型船,并调节船速并调节船速.五、量纲分析法在物理模拟中的应用原型原型船：船：模型模型船：船：323232(,),vsfl g lg l 同上，323232(,),vsfl g lgl待定，=g g2233=2323(,)(,)3()flfl参考文献1.姜启源，谢金星，叶俊姜启源，谢金星，叶俊.数学模型数学模型（第四版）（第四版）.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2011.2.姜启源，谢金星，叶俊姜启源，谢金星，叶俊.数学模型数学模型（第第五五版版）.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2018.谢谢大家！谢谢大家！本视频课程中的部分图片、视频引自有关图书、网络，特向这些图片、视频的制作者和有关图书的出版者和相关网络表示感谢；因多种原因，事先未与作者和出版社取得联系，特向他们表示歉意。