(4.3.2)--10.2.2极坐标系下二重积分的计算法.pdf

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1、第10章 重积分 高等数学 二重积分的计算法 二、极坐标系中的计算法 iiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf .)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图区域特征如图,).()(21 r区域特征如图区域特征如图 ,).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（二重积分化为二次积

2、分的公式（2）.)sin,cos()(0 rdrrrfd区域特征如图区域特征如图,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（二重积分化为二次积分的公式（3）Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd 区域特征如图区域特征如图).(0 r,2 0例例4 计算计算 deDyx 22，其中，其中 D原点、半径为原点、半径为 a的圆周所围成的闭区域。的圆周所围成的闭区域。是由中心在是由中心在 解解 在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域 D可表示为可表示为 ar 0,20

3、于是于是 arrdred0202 deDyx22 drdreDr2 daer 2002122a1e本题如果用直角坐标计算，由于积分本题如果用直角坐标计算，由于积分 dxex2不能用初等函数表示，所以算不出来。不能用初等函数表示，所以算不出来。例例5 求球体求球体 2222azyx 被圆柱面被圆柱面 axyx 22所围成的那部分体积所围成的那部分体积 V。解解 设柱面与设柱面与 xOy平面相交的区域在第一象限平面相交的区域在第一象限。的部分为的部分为 D由于对称性，所以有由于对称性，所以有 故故 rdrradVa 20cos0224 sinaad 3332043a342323在极坐标下，在极坐标下，边界曲线的方程为边界曲线的方程为 cosar D于是区域于是区域 为为 0,0cos2raD 谢谢，再见！