(3.8.3)--9.6.3曲面的切平面与法线.pdf

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1、第9章多元函数微分法及其应用高等数学曲面的切平面与法线一、设曲面的方程为(,)=0(,)为曲面上一点假定：(,)在的某邻域内有连续偏导数，且、在点不全为零在曲面上任取一条通过点的曲线，且其在处具有切线曲面上通过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上这个平面称为曲面在点的切平面可以证明曲面上通过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上这个平面称为曲面在点的切平面可以证明假定曲线的参数方程为,不全为零证点(,)对应的参数为=()=()=():因为曲线完全在曲面:,=上,所以有恒等式 ,=假定曲线的参数方程为,不全为零证点(,)对应的参数为=()=()=():因为曲线完全在曲面:,=上,所以有恒等式

2、,=、在点有连续偏导数且,存在两端对求导 ,=0 ,=0(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0)=0,0,0,0,0,0,(0,0,0),曲线在点处切向量 =0(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0)=曲面上通过点的任意一条曲线，它们在点的切线都与同一个向量垂直曲面上通过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上 任取一、设曲面的方程为(,)=0切平面法线=,(,)为曲面上一点法线 通过点M且垂直于切平面的直线垂直于切平面的向量称为曲面的法向量法向量一、设曲面的方程为(,)=0=,切平面方程,+,+,=法线 通过点M且垂直于切平面的直线 ,=,=,法线方程(,)为曲面上一点垂直于切平面

3、的向量称为曲面的法向量法向量点向式点法式例求球面+=在点,处的切平面及法线方程。解记 ,=+则=,=,=,从而法向量所以球面在点,处的切平面方程为=,(,)+=即 +=,=,球面在点,处的法线方程为 =球面的法线通过球心二、设曲面的方程为=(,)=,令,=,则 =0,0,0,0,0,0,(0,0,0)=0,0,0,0,1分析：曲面在点的法向量(,)为曲面上一点二、设曲面的方程为=(,)=,曲面在点的法向量(,)为曲面上一点切平面方程,+,=0,0=0,0=法线方程例求旋转抛物面 ,=+在点,处的切平面及法线方程。解=,=,从而法向量所以在点,处的切平面方程为=,(,)+=即+=法线方程为 =,=,小结曲面 在(,)处：,=：=,法向量切平面方程法线方程=,=,谢谢，再见！