(6.7.1)--12.6一般周期函数的傅里叶级数.pdf

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1、第12章 无穷级数 高等数学 一般周期函数的傅里叶级数 一、周期为2L的周期函数的傅氏级数,2lT=Q.2lT=定理定理 式为则它的傅里叶级数展开定理的条件满足收敛的周期函数设周期为式为则它的傅里叶级数展开定理的条件满足收敛的周期函数设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn+=+=)sincos(210 xnbxnaannn+=代入傅氏级数中代入傅氏级数中 为其中系数为其中系数nnba,),2,1,0(,cos)(1=ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1=ndxlxnxflblln,)()1(为奇函数如果为奇函数如果xf则有则有,sin)(

2、1=nnlxnbxf02()sin,lnnn xbbf xdxll=其中系数为),2,1(=n,)()2(为偶函数如果为偶函数如果xf则有则有,cos2)(10=+=+=nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn=0cos)(2为其中系数为其中系数),2,1,0(=n级数在连续点级数在连续点x处收敛于处收敛于()f x,在间断点在间断点x处处收敛于收敛于(0)(0).2f xf x+证明证明,lxz=令=令lxl,z),()()(zFlzfxf=设=设.2)(为周期以 为周期以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn+=+=1()cos,naF znzdz =其中其中1()

3、sin.nbF znzdz =)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn+=+=.sin)(1,cos)(1=llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其中其中()()xzF zf xl=Q定理的其它部分证明是类似的定理的其它部分证明是类似的 例例1 设设 4的周期函数，在的周期函数，在)2,2上的表达式为上的表达式为()()0,20,02xfxkx=将将()f x展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数.解解 201cos22nn xakdx=()()0k 2,l=按公式有按公式有 这时这时 20sin0(0);2kn xnn=是周期为是周期为()f x02020110;22ad

4、xkdxk=+=+=从而从而 201sin22nn xbkdx=(1cos)knn=20cos2kn xn=2,1,3,5,0,2,4,6,.knnn=21315()sinsinsin223252kkxxxf x=+=+(;0,2,4,)xx +例例2 将函数将函数 1,02()1,2axf xaxa=展成余弦级数展成余弦级数 解解 002()aaf x dxa=,0)a 上进行偶延拓上进行偶延拓 在在 202221(1)0aaadxdxaa=+=+=20222sinsinaaannxxnana=224sinsinsin222nnnnnn=+=+=02()cosannaf xxdxaa=202

5、22cos(1)cosaaannxdxxdxaaaa=+=+当当 0 x=时，级数的和为时，级数的和为 1,2ax=时，级数时，级数 0,的和为的和为 114(1)(21)cos21nnnxna=于是有于是有 141()sincos2nnnf xxna=当当 xa=时级数的和为时级数的和为 1.0,2 2a axxa例例3 将函数将函数()10(515)f xxx=展成以展成以 10为周期的傅里叶级数为周期的傅里叶级数.解解 于是于是 10zx=而而()(10)(),f xf zzF z=+=+=0na=502()sin55nnbF zzdz=时，时，使得当使得当 5x=5;z=时，时，当当

6、5.z=15x=由此可求得由此可求得 1,10.ab=5,5;()F z在在 上为奇函数，故上为奇函数，故(5,5)502sin55nzzdz=就把区间就把区间 换成了换成了 515x,zaxb=+=+令令 10(1)(1,2,3,)nnn=于是于是 110(1)()sin(55)5nnnF zzzn=从而从而 110(1)10sin(10)5nnnxxn=110(1)sin(515)5nnnxxn=二、函数在任意区间上的傅立叶级数展开 如果如果()f x仅在仅在,l l 上有定义上有定义,且满足收敛且满足收敛定理中的条件定理中的条件,我们可以把我们可以把()f x延拓到在整个延拓到在整个数轴

7、上有定义且以数轴上有定义且以2l为周期的周期函数为周期的周期函数()F x.当当,xl l 时时,有有()()f xF x=.于是于是,在在,l l 上上()f x就可以展成傅立叶级数就可以展成傅立叶级数 01cossin2nnnannaxbxll=+.为其中系数为其中系数nnba,),2,1,0(,cos)(1=ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1=ndxlxnxflblln如果如果()f x仅在仅在0,l上有定义上有定义,且满足收敛且满足收敛定理中的条件定理中的条件,则则()f x在在0,l上可以进行奇延上可以进行奇延拓拓,从而从而 ,sin)(1=nnlxnbxf02()sin,lnn xbf xdxll=其中其中),2,1(=n如果如果()f x仅在仅在0,l上有定义上有定义,且满足收敛且满足收敛定理中的条件定理中的条件,则则()f x在在0,l上也可以进行偶上也可以进行偶延拓延拓,从而从而,cos2)(10=+=+=nnlxnaaxf02()coslnn xaf xdxll=其中其中),2,1,0(=n 谢谢，再见！