(3.2.1)--3.2Z反变换.pdf

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1、第三章 z变换与反变换3.2 Z 反变换序列序列x(n)z反变换反变换其中其中c是在是在X(z)的收敛域内一条的收敛域内一条绕原点的逆时针闭合单围线。绕原点的逆时针闭合单围线。cox njX z zdz cRRncxx=+1()12(),(,)xR+Re zjIm zxR留数法留数法幂级数法幂级数法:针对一些简单情况针对一些简单情况部分分式法：适用于大多数具有单阶极点的部分分式法：适用于大多数具有单阶极点的X(z)X(z)求z反变换的方法若若X(z)是是z的有理函数，利用留数定理来计算围线积分。其中的有理函数，利用留数定理来计算围线积分。其中X(z)zn-1须在围线上连续，在围线以内有须在围线

2、上连续，在围线以内有K个极点个极点zk，而在围线以，而在围线以外有外有M个极点个极点zm。=z zX z zx nXzkz zncnk()j 2)dRes()(111=x nX z zzX z zcnmz znmj)2des()()1R11则有则有或或注意在公式注意在公式(3.12)中，必须满足中，必须满足X(z)zn-1的分母多项式的分母多项式z的阶的阶次要比分子多项式次要比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。的阶次高二阶或二阶以上。(3.12)(3.11)3.2.1 留数法zk是是X(z)zn-1的极点，其对应的留数计算方法是：的极点，其对应的留数计算方法是：(1)zk是是X(z)zn-1

3、的单阶极点的单阶极点=X z zzzX z zz zkz znnkkRes()()()11(2)zk是是X(z)zn-1的的 l 阶极点阶极点=lzX z zzzX z zlz zkz znlnlkk(1)!dRes()()()1d11113.2.1 留数法例例3.5 3.5 ，设收敛域，设收敛域，试用留数法求，试用留数法求x(n)。=zzX zz(1)(2)()10z|2解解 由收敛域可知由收敛域可知x(n)是一个右边序列。是一个右边序列。=zzzzzx nX z zzzzzzncccnnj(1)(2)(1)(2)1010j2j22()()ddd11111式中，围线式中，围线c是半径大于是半

4、径大于2的围线，如图的围线，如图3.13所示。所示。21co图图3.13 3.13 例例3.53.5的围线的围线3.2.1 留数法Re zjIm z=zzX z zznn(1)(2)()101从从X(z)zn-1的表达式可以看出，当的表达式可以看出，当n0n0 时，有两个一阶极点时，有两个一阶极点 z z1 1=1=1 和和z z2 2=2=2，当，当n0n0 时有两个一阶极点极点时有两个一阶极点极点 z z1 1=1=1 和和z z2 2=2=2及一个及一个n阶极点阶极点z=0z=0。当当 n n00 时，时，=+=+=+=zzzzzzzzx nX z zX z znzznnz zz znn

5、10 10 2(1)(2)(1)(2)(1)(2)1010()Res()Res()121112当当 n0n0 时，可用式时，可用式(3.12)(3.12)求留数，其留数为零。求留数，其留数为零。3.2.1 留数法 =+nx nnn0()10 10 20=+x nu nn()(10 10 2)()所以所以或或3.2.1 留数法按照按照z变换的定义：变换的定义：可用长除法将可用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。先由收敛域判定序列的性质先由收敛域判定序列的性质若是右边序列，则按若是右边序列，则按z降幂排列进行长除；降幂排列进行长除；若是左边

6、序列，则按若是左边序列，则按z升幂排列进行长除。升幂排列进行长除。方法比较直观，但在复杂情况下，难以得到封闭解方法比较直观，但在复杂情况下，难以得到封闭解=X zx n znn()()3.2.2 幂级数法已知，设收敛域|z|a|，试用长除法求x(n)。解：由收敛域可以判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的升幂级数。-a-1z-a-2z2-a-3z3-az-1+1）1 1-a-1za-1za-1z-a-2z2a-2z2X Zaz=()111得到：Xzn(z)-a-a za z.az-1-22-33nn 1=3.2.2 幂级数法部分分式法是将部分分式法是将X(z)表达式展开成常见部分分式之和，然

7、后分别表达式展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的求各部分的z z反变换，最后把各反变换，最后把各z z反变换相加即可得到。即反变换相加即可得到。即=+B zX zX zXzXzA zK()()()()()()12=+x nX zXzXzXzK()IZT()IZT()IZT()IZT()12则则3.2.3 部分分式法例例3 3.1111 若已知若已知，设收敛域设收敛域，试用部分分式法求试用部分分式法求x(n)。=zzX zz(1)(2)()10z|2解解 由由X(z)的表达式可以看出，存在的表达式可以看出，存在和和两个单阶极点。两个单阶极点。=z11=z22=+zzzzX zz(1)(2)(1)(1 2)()10101011可得到可得到=+=+x nu nu nu nnn()10()10 2()(10 10 2)()3.2.3 部分分式法3.2 Z 反变换谢 谢Thanks