复变函数复变函数复变函数 (1).pdf

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1、1 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 复变函数即自变量为复数的函数.我们研究的主要对象是在某种意义下可导的复变函数解析函数.本章首先引入复数域，介绍如何在平面上引入复坐标与无穷远点，又引入了复平面上的点集、区域、约当曲线以及复变函数的极限连续等概念.1、复数复数 一、一、教学的目的和要求教学的目的和要求 1、能够复述复数、共轭复数及相关概念，灵活运用复数及共轭复数的相关等式.2、灵活进行非零复数的三种表示、相互转换及非零复数在指数形式下的乘除、乘方和开方运算.3、灵活运用复数的向量表示解决的几何问题，理解复平面及与复平面点集的相关概念.二、二、重难点重难点 1、重点 复数的三种表示及

2、其相关概念，复数的相等及运算，复平面上的点集及共轭复数应用，复数的几何应用.2、难点 复数的灵活应用及扩充复平面的规定.三三、教法与手段教法与手段 以课堂讲授法为准，采用启发式互动、提问、探讨式教学 四四、教学内容教学内容（共 4 课时）1 1、复数复数 （一）（一）复数域复数域 1 1、定义定义 形如zxiy=+或zxyi=+的数称为复数，其中,x yIR，i为虚数单位.xz的实部，记为Rez yz的虚部，记为Imz（1）当Im0Rezzz=时，为实数；（2）Im0zz当时，称 为复数；（3）Im0,Re0zzz=当时称 为纯虚数.注注 （1）电工学中用j表示虚数单位，而不用i（2）4142

3、4344,1,1()nnnnii iii inz+=2 2、复数的相等与四则运算复数的相等与四则运算 2 （1）121212ReReImImzzzzzz=且 0Re0Imzzz=许多问题运用复数相等的定义就可以很好的解决.（2）对于 211122222,zxiy zxiyzxiy=+=有 1212121212121221()();()()zzxxi yyz zx xy yi x yx y+=+=+11212122112222222222222(0)zz zx xy yx yx yizzxyxyz z+=+按多项式乘法展开，利用21i=即可.3 3、复数的四则运算复数的四则运算 复数的四则运算满

4、足交换律、结合律、分配律且关于四则运算的代数恒等式（如立方和公式）均满足.结论结论 全体复数组成的集合并引进上述运算后便形成一个域，称之为复数域，常用表示.注注 两个虚（复）数不能比较大小，且平方未必大于 0.（二）（二）复平面复平面复数的平面表示复数的平面表示 1 1、每个复数zxiy=+本质上由一对实数(,)x y决定，而每个实数对(,)x y又可表示平面2IR的一个点，于是实平面2IR与复数域之间成一一对应.即 2(,)x yIRzxiy=+2 2、对应法则对应法则 x轴（实轴）实数，y轴（虚轴除原点）虚数 从而有“右（左）半实轴，上（下）半虚轴”及左右（上下）半平面之说.3 3、复平面

5、复平面 若用平面上的点表示复数，则此平面成为复平面，记作 wz平面，平面（用表示复数的字母命名，并非心得平面）“数”“点”视为同义语 （三）（三）复数的向量表示复数的向量表示 1 1、复数的向量表示复数的向量表示 复数z可以用平面上的起点为原点，终点为z的向量oz来唯一表示（平移向量与原向量视为同一向量）3|z|zxiyoz=+向量 复数加减法遵循向量加减法的平行四边形法则.2 2、模与辐角模与辐角 （1）模 22|0zxiyozrzxy=+=+复数的模即为向量 的长度，记作：（2）辐角 0zozzArgz=当时，实轴正向与 间的夹角 称为复数 的辐角，记作 注注 零的模为零，且0|0zz=但

6、零的辐角无意义.对于一个确定的复数0zxiy=+，模|z唯一确定，但辐角却有无穷多个，任何两个之间都有相差2的整数倍，我们用argz表示Argz的某个特定值（此处指出单值，未限定范围，其关系如图元素与集合）主辐角介于(,之间的辐角，故可以用argz表示，但argz却未必只表示此范围上的角.显然有 arg2()Argzzkk=+且 1z 12zz 2z 12zz+1z 2z 12zz+的几何表示 12zz的几何表示 y x z 4 argtan,0yxx；,0,02xy=；arg(0)zz=arctan,0,0yxyx+；arctan,0,0yxyx；,0,02xy=其中 arctan22yx

7、3 3、复数的几种表示复数的几种表示 （1）称zxiy=+为代数表示当0z 时（2）|cos()sin()(cossin)zzArgziArgzri=+=+三角表示（3）利用 Euler 公式 cossin|iiArgzieizz ere=+=指数表示，这里argz=未必取主值.注注 若0zxig=+，记argz=表主值，则 22sinsin21 cossinrytgrrxxy=+故 argz=（主值）222yarctgxxy=+对于 111ize=，222ize=，1212zz=，1212(2,)kk=+222,1,1,()iiikei ei eek=例例1 1 求下面复数的模、辐角、三角形

8、式及指数形式；（1）22i （2）34i+解解 （1）22|22|2(2)2 2i=+=arg(22)(1)24iarctgarctg=(22)arg(22)22()4Argiikkk=+=5 4222 2 cos()sin()2 244iiie=+=（2）22|34|(3)45i+=+=44arg(34)33iarctgarctg+=+=44(34)2(21)()33Argikarctgkarctgk+=+=+4()344345cos()sin()533iarctgiarctgiarctge+=+=补充习题补充习题 设02x，求(1)/(1)zitgxitgx=+的三角形式 例例 2 2 将

9、复数1 cossin(0)i+化成指数形式 解解 原式=22sin2sincos2sin(sincos)222222ii+=+当0时，sin02 原式=22sincossin()2sin22222iie+=4 4、基本性质基本性质 性质性质 1 1 复数 121212|,zzzzArgzArgz=其中12ArgzArgz=是两个集合形式的相等 性质性质 2 2 对复数zxiy=+，有|,|,|xzyzzxy+111212222|(0)|zzz zzzzzz=，121212|zzzzzz+（三角不等式）其中12|zz既可表示向量差又可表示两点之间的距离.6 1212222121212|.|.|0

10、|0|2Re()nnzzzzzzzzzzzzz z+=+性质性质 3 3 1 212112212()()(,0)Arg z zArgzArgzzArgArgzArgzzz z=+=注注 （*）式也是集合形式的相等，在（*）中，若用argz代替Argz时，argz应理解为Argz的某个特定值当argz表示辐角时，可以相差一个2的整数倍.特别地 arg()arg(0)zz=例例 3 3 对复数与，若0=，则与至少有一个为 0 证证 0|0|0|0,or =中至少有一个为 0 5 5、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 （1）乘幂 若z0,nN，以nz表示n个z的乘积，nz定义为1,nz即 1nnzz

11、=命题命题 若,immimzremzr e=则（可用归纳总结法证明），特别的，当1r=时，得 De Moivre 公式 (cossin)cossinmimim+=+例例 4 4 将cossin3、用sincos、表示出来 解解 3cos3sin3(cossin)ii+=+3222332223cos3 cossin3cos sinsin(cos3 cossin)(3cossinsin)iiii=+=+据复数相关知识得 223233cos3cos3cos sin4cos3cossin33cossinsin3sin4sin=（2）方根 若2,nnIN，则满足nwz=的复数w成为复数z的n次方根，记作

12、注意该式子的理解（*）7 nwz=设,iizrewe=即复数相等得 22(0 1)nnerrknkknn=+=+=222(cossin)(0 1)kinnnkkwreriknnn+=+=注注 nwz=有且仅有 n 个值，即0,1,2,.,1kn=所确定的值 上述 n 个根的几何描述（见 TB、P13）对于 220()kkiinnnnkkwzreew+=（其中0,0 1innwrekn=）2(0 1)kinekn=为1的n个n次方根，通常记为 2211,.,()kinnw wwwe=，从而0z 的n个n次方根为 210000,.,nw ww w www 若设2inwe=，则 211.0,1nnw

13、www+=w为二项方程1nw=之根，即 211(1)(1.)0)nnwwwww=+=特别的，当3n=时 231322iwei=+则 2310,1www+=例例 5 5 （1）计算38 （2）解方程 24(49)0zizi=8 解解 （1）33228|8|(cossin),0,1,233kkik+=+=当0k=时，30(8)2(cossin)1333ii=+=+；当1k=时，31(8)2(cossin)2i=+=当2k=时，3255(8)2(cossin)1333ii=+=注注 在IR中，规定382=解解 （2）2224(2)4(4 9)0(2)9ziziizii+=222(2)(9)3,0,1

14、kikkziiek+=解得 013 23 23 23 2(2),(2)2222zi zi=+=+思考思考 解方程 55(1)(1)zz+=6 6、共轭复数共轭复数（1）定义 复数xiy+与xiy称为互为共轭的复数，将z的共轭复数记为z，他们关于实轴对称.（2）性质 1212(),zz zzzz=111212222(),()(0)zzz zz zzzz=22|,Re,Im22zzzzzzz zzzi+=设,a b cR(.)表示对复数,a b c.的任一有理运算，则 R(a,b,c,.)a b c=R(,.)例例 6 6 求复数1(1)1zwzz+=的实数，虚部及模 解解 （1）因为 2221(

15、1)(1)11|2 Im1|1|1|(1)(1)zzzzzzzzizwzzzzz+=9 所以 221|Re|1|zwz=22ImIm|1|zzz=（2）因为 222111|2Re|1|1|1zzzzww wzzz+=所以 21|2Re|1|zzwz+=例例 7 7 设1z及2z是两个复数，试证 222221212121212|2Re()|2Re()zzzzz zzzz z=+=+证证 2121212|()()zzzzzz=11122121221212|2Re()z zz zz zz zzzz z=+=+其次，由所证等式以及 121212Re()|z zz zzz=得三角不等式 22212121

16、2|2Re()zzzzz z=+2222121212|2|(|)zzzzzz+=+练习补充练习补充 试证 22221 21212|1|(1|)(1|)z zzzzz=例例 8 8 若|1,|1,ab试证：11abab 证证 两端平方，证明211abab成立，即22|1|abab成立，因为 222|()()|2Re()abab ababab=+222|1|1|2Re()ababab=+10 而 22221|(1|)(1|)0ababab+=所以 22|1|abab 7 7、复数在几何上的应用复数在几何上的应用 （1）常见曲线得复数方程 0zz表从0zz到的向量，0|zz表示0zz与间的距离.过1

17、2,z z两点的直线方程为 121(),zzt zztIR=+，线段12,z z的参数方程为 12121()(1),0,1zzt zztzt z t=+=+由此知 123,z z z共线31312121(0)Im()0zzzzttIRzzzz=射线方程 arg4z=表从原点出发与实轴夹角为4的一条射线，一般00arg()zz=，表示从0z出发与正实轴夹角为0的一条射线 平面上以0z为心，0R 为半径的圆周方程为0|zzR+=，特别地原点为圆心的圆周方程写作|zR=复平面上的特殊曲线方程用复数表示的方法为 一般从(,)x y平面上已给曲线方程(,)0F x y=出发，经过变数代换，可得其复数方程

18、为 11(),()022Fzzzzi+=例例 9 9 试证z平面上圆周方程可以写成 0AzzzzC+=（1）2,0,A CIR AAC其中为复数，且|（2）证明思路证明思路 先证熟知的圆周方程（实 or 复数形式参数方程）可化为要证形式的复方程.再证题设形式的方程表平面上圆周，为此可从题设形式的方程出发，将（1）的证明递推11 即可.证证 设圆周的实数形式方程为 22()0A xyBxDyC+=（3）其中0,AA B C D且为实数，当 224BDAC+（4）方程（3）表示实圆周，令zxiy=+，将 222|,22zzzzxyzzzxyi+=代入（3），得 02222BBDDAzzzzzzCi

19、i+=即 0AzzzzC+=，其中2Biv+=且 222(3)(1)|,(4)(2)4BDAC+=反之，将上面的过程递推得(1)(3)，(2)(4)于是(1)(2)(3)(4)，特别，对实圆周 0,(5)zzzz+=(1),(2)2|(0,),(6)IR 证法二证法二 设已结合实圆周方程为 0|0zzr=（7）应用公式2|zzz=，即证(7)(5)(6)(1)(2)（2）证明几何问题 例例 1 10 0 设123,z z z三点适合，1230zzz+=及123|1zzz=，试证 123,z z z为一个内接于单位圆周|1z=得正三角形得顶点.证明分析证明分析 由123|zzz=知 123,z

20、z z在单位圆周上，故只需证 12 1 23z z z三边相等 123,z z z为三项方程3,(|1)zaa=的三根 三边所对中心角相等（仅用其余见后记）证证 2222121212|2(|)zzzzzz+=+222212123|2(|)|3zzzzz=+=122331|3zzzzzz=即三边相等 例例 1 11 1 证明三角形内角和为，证明设三角形三定点为123,z z z，其对应的定点为,（如图），若令(arg0,2z，则 32132131223arg,arg,argzzzzzzzzzzzz=证证 由于 321321312231zzzzzzzz zzzz=故 arg(1)22,kkk+=+

21、=+因为,(0,)，当 03+时，0k=，即+=例例 1 12 2 若123,z z z为等腰直角三角形 的三个顶点 其中2z为直角顶点的充要条件为 22212321322()zzzzzz+=+证证 1 23z z z中2z为直角顶点1 2z z绕2z旋转2，即得向量12z z，即 2321212()()izzzz ei zz=两端平方 22223223121 222zzz zzzz z+=+13 即 22212321322()zzzzzz+=+注注 本节内容主要参考教案 P3 文献【1】、【5】、【6】复数概念，五种表示 五五、小结小结 模长，辐角的概念计算不等式 六六、作业作业 P41、2

22、、3、4 补充 设10,21itgxxzitgx=+求复数的三角形式 七七、补充说明及预习要求补充说明及预习要求 1、例 10 的另两种证法 证证 考虑恒等式 321231231 2231 31 23()()()()(),()zzzzzzzzzz zz zz zz z zz z z=+由题设条件 12301(1 3)kkzzzzzk+=及 可推得 1 2231 31 23323 111 322z zz zz zz z z zz z z zz z z z+=+123123()0z z z zzz=+=故()得 3123()()()zzzzzzza=证证 由题设123|1zzz=，可设 312123,iiizezeze=不妨令12302，又由1230zzz+=得 1121310z zz zz z+=即 14 3121()()111iieez z+=记 2131,=，则上式变为 cossincossin1ii+=解得 2123=3143=故 12233123z ozz ozz oz=2 2、预习思考预习思考 （1）如何用邻域定义孤立点？（2）如何理解孤立点必为界点？