(3.6.1)--2.6.1行列式的按一行（列）展开-1.pdf

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1、行列式按行列式按k行（列）展行（列）展开开Laplaces expansion formula定理定理 n 阶行列式阶行列式1111111221jniijiniiiiininnnjnnaaaaaaDa Aa Aa Aaaa=+等于等于它的任意一行它的任意一行(列列)的所有元素与它们各自的代数的所有元素与它们各自的代数余子式的乘积之和余子式的乘积之和，称为称为行列式行列式D按第按第 i 行展开行展开(i=1,2,n)。ni,2 ,1=称为称为行列式行列式 D 按第按第 j 列展开列展开(j=1,2,n)。1111111221jniijinjjjjnjnjnnjnnaaaaaaDa Aa Aa A

2、aaa=+=+22231 12122233233313233111213212321221 21 331333131213211(1)(1)(1)aaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+=+=+2223212321223233313331322,32,32,3,2,31,31,2aaaaaaAAAaaaaaa=111213111,123aaaAAA (2 3)(2 3)1 1(2 3)(11113)1 2(2 3)(1 2)311232,31(1)(1)2,312,31(1)(1)1,322,31(1)(1)1,23AAAAAAaaa+=+22231 121222332333132

3、33111213212321221 21 331333131213211(1)(1)(1)aaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+=+=+1211221 11 212 12 2211221111111111kkkkk kkkkkjjjnii nii nii ji ji ji ji ji ji ji jii nmmjmjmjmnjaaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaa=定义定义 在在矩阵矩阵m n中，任选中，任选k行行(第第行行)、k列列(第第列列)12,ki ii12,kjjj位于这些行列交叉处的个元素按原次序构成一个位于这些行列交叉处的个元素按原次序构成一个k阶行列

4、式，称之为矩阵阶行列式，称之为矩阵A的一个的一个k阶子式，记为阶子式，记为 1212,kkiiiAjjj即即 1 11 212 12 22121212,kkkkk ki jikkji ji ji ji ji ji ji jaaaaaaaaaiiiAjjj=例如，对于矩阵例如，对于矩阵 130221340035500621212334005 121113843222123A=如果我们如下选择如果我们如下选择 122340035500122300121113843301622221213453A=可得到可得到3阶子式阶子式 1 3 42 3 6301621345A=若如下选择若如下选择 12345

5、0062121230130210035340511123432221238A=可以得到可以得到4阶子式阶子式 30210035340511181 2 4 52 3 4 6A=对对n级矩阵级矩阵A，取定，取定k阶子式，阶子式，从从A中划去中划去M所在的第所在的第行和第行和第列，由剩余的列，由剩余的个元素按原个元素按原次序构成一个次序构成一个阶行列式，称之为子式阶行列式，称之为子式M的的余子式余子式，余子式前乘上符号，余子式前乘上符号 1212,kkiiiMAjjj=12,ki ii12,kjjj2()nk nk 1212()()(1)kkiiijjj+则称之为子式则称之为子式M的的代数余子式代数

6、余子式。例如，对例如，对6级矩阵级矩阵122005012300143521331822212301621345A=其其3阶子式阶子式 1 3 42 3 6301621345A=余子式为余子式为435213321例如，对例如，对6级矩阵级矩阵122005012300143521331822212301621345A=其代数余子式为其代数余子式为1 3 42 3 6()()435(1)213321+当当A是是n级方阵时，对级方阵时，对，称，称为为A的一个的一个k阶主子式阶主子式，称，称1kn1212,kki iiAi ii为为A的一个的一个k阶顺序主子式阶顺序主子式。1,2,1,2,kAk例如，对例如，对6级矩阵级矩阵130221435012334005210056212211383212A=可得可得3阶主子式阶主子式 2 3 62 3 6005621222A=若如下选择若如下选择221355121334005211138322212130400062A=可得可得3阶顺序主子式阶顺序主子式 1 2 31 2 3130400062A=