(3.6.2)--2.6.2行列式的按一行（列）展开-2.pdf

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1、行列式按行列式按k行（列）展行（列）展开开Laplaces expansion formula定理（定理（Laplace展开定理展开定理）在在n阶行列式阶行列式D中，中，取定取定k行，则由这行，则由这k行所构成的所有行所构成的所有k阶子式阶子式与它们自身的代数余子式乘积之和等于与它们自身的代数余子式乘积之和等于D。MA证明证明（1）D的每个的每个k阶子式阶子式M与其代数余子与其代数余子式式乘积的展开式中的每项都是乘积的展开式中的每项都是D的完全展的完全展开式中的项，且符号相同。开式中的项，且符号相同。情形情形1 M位于位于D的左上角的左上角 1,11,212,12,22,1,21,11,21,

2、1,11,21,1,111212112,22,2222,12,12,112kknkknk kk kknkkkkkkkkknkkkkkkkkkkkknnnkkkn kaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+22,2tnnn kaaa+这里这里N是是M的余子式。此时，的余子式。此时，M展开式中的项为展开式中的项为1 212()12(1)kkj jjjjkjaaa 其中其中是是k元排列；又元排列；又N的展开式中的项为的展开式中的项为1 2kj jj1212(,)1,2,(1)kknkknjk jkjkkjkjnjaaa+其中其中是是的排列。所以，的排列。所以，的展开式中的

3、项为的展开式中的项为它恰是它恰是D的完全展开式中的项。的完全展开式中的项。12kknjjj+1,2,kkn+(1 2)(1 2)(1)kkMMAMNMN+=1211212121212212(,)1,(,)121,2,)122,(1)(11)kknkkkkkknkkknknj jjjk jkjkkjkjjj jjjjkjjjkjkjnjjjkjnjaaaa aa aa aaaa +=情形情形2 M位于位于D的任意位置的任意位置1 11 212 12 2212121122121111111111kkkkkkkkk ki ji ji ji ji jjjjnii nii ji ji ji ji nii

4、 nnnjnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa设设M位于位于D的第的第行、第行、第列。通过相邻行的对换及相邻列的对换，把列。通过相邻行的对换及相邻列的对换，把M移到移到D的左上角，则的左上角，则D化为化为12,ki ii12,kjjj1 112 1211 11 211 1111 11 212 12 212221n kn kkk n kkn kn kn kn k kn kn k nkkkkk kki ji ji ji ji ji ji ji ji ji ji jijijijii ji ji ji ji ji ji ji jjijjiaaaaaaDaaaaaaaaaaaa

5、aaaaaaa =此时，此时，MN的展开式中的项都是的展开式中的项都是的完全展的完全展开式中的项。而开式中的项。而D 1212()()(1)kkiiijjjDD+=1212()()(1)kkiiijjjMMAMN+=所以，所以，展开式中的项都是展开式中的项都是D的展开式中的展开式中的项。的项。MMA1122ttM AM AM A+（2）D的完全展开式中的项数与表达式的完全展开式中的项数与表达式的项数相等。的项数相等。D的完全展开式中有的完全展开式中有n！项，每个乘积！项，每个乘积的的展开式都有展开式都有项，且项，且，故上述，故上述表达式共有表达式共有项。项。iiM A!()!knk kntC=

6、!()!knknkCn=12,tMMM12,tA AAiiM AjjM A()ij（3）取定取定D的的k行，设这些行上的全部行，设这些行上的全部k阶子阶子式为式为，它们各自的代数余子式分，它们各自的代数余子式分别为别为，则，则的展开式与的展开式与的展开式没有公共的项。的展开式没有公共的项。综上所述，综上所述，1122ttDM AM AM A=+=+例例 在行列式在行列式1310310112104121=D中取定第一、二行，得到六个子式：中取定第一、二行，得到六个子式：,1041,2011,1021321=MMM,1241,1142,2112654=MMM它们对应的代数余子式为它们对应的代数余子

7、式为,)1(11)21()21(1MMA=+,)1(22)31()21(2MMA=+,)1(33)41()21(3MMA=+,)1(44)32()21(4MMA=+,)1(55)42()21(5MMA=+.)1(66)43()21(6MMA=+由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理D=M1 A1+M2 A2+M6A61130201113311021=1031211231101041+1001124130111142+=8+6-1+5-18-7=-7.例：例：计算计算2n级行列式级行列式2nabababDbababa=解解 对对的第的第1、2n行应用行应用Laplace定理，定理，可得可得2nD 2nab

8、ababDbababa=(1 2)(1 2)2222 22(1)2(2)221222(1)()()()()nnnnnnabababbababaabDabDabDab+=例例111212122212111112112121222122221122 000000 000ttsstttttsssssststaaaaaaaaabbbbcccbbbccccccbb111212111121212222221212ssssssttttttaaaabbbbbbbbbaaaaa=小结：小结：（1）熟练计算）熟练计算2阶、阶、3阶、阶、4阶行列式及简单阶行列式及简单的的n阶行列式；阶行列式；（2）掌握行列式的保值变换与方阵的初等）掌握行列式的保值变换与方阵的初等变换之间的联系；变换之间的联系；（3）掌握并理解）掌握并理解Cramer法则。法则。（4）理解行列式的几何意义。）理解行列式的几何意义。