复变函数复变函数复变函数 (16).pdf

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1、38 （1）()(),u x yv x y在 D 内可微 （1）xu、yu、xv、yv在 D 内连续 2、初等解析函数（）初等解析函数（）一、目的要求一、目的要求 1、充分掌握解析函数的等价刻画定理，充分认识 C.R.条件在判别复函数在一点或者整个区域可微的重要性.2、运用极坐标形式的 C.R.条件来判别函数的解析性，灵活运用例 2.10 结论及LHospital 法则.3、充分掌握 Z 整幂函数、有理函数的解析性、指数函数的常见性.二、重难点二、重难点 1、重点 解析函数的等价刻画定理，指数函数的常见性质.2、难点 不同形式的 C.R.条件及应用，指数函数性质.三、教三、教法与教学手段法与教

2、学手段 课堂讲授法、采用启发式、以例题说明、电教 CIA 演示.四、教四、教学内容（学内容（2 2 课时课时）（一一）解析函数的等价刻画原理解析函数的等价刻画原理 回顾解析函数的概念及 C.R.条件和判别一点可微的几个定理，通过解析的定义及定义 2.2 易得 定义定义 2.42.4 函数()()(),f zu x yiv x y=+在区域 D 内解析 由定义 2.2 及定义 2.3，我们有 定义定义 2.52.5 ()()(),f zu x yiv x y=+在区域 D 内解析 从以上几个定理我们可以看出 C.R.条件是判断复变函数在一点可微或在区域内解析的主要条件.在哪一点不满足它，函数在那

3、一点就不可微，在哪个区域内不满足它，函数在那个区域内就不解析.例例 1 1 讨论()2f zz=的解析性.解解 因为()22,u x yxy=+(),0v x y=2xux=2yuy=0 xyvv=这四个偏导数在 z 平面上处处连续，但只在0z=处满足 C.R.条件，故（2）在 D 内.CR条件成立 （2）在 D 内.CR条件成立 39 ()f z只0z=在处可微.故函数在 z 平面上处处不解析.例例 2 2 讨论()2f zxiy=的可微性及解析性.解解 因 ()()22,u x yxy v x yy=+=，故 22,0,1xyxyuxuy vv=，,所以 0yxuv=,欲21xyxuv=，

4、必须12x=.故 C.R.条件仅在12x=上成立，且偏导数连续，从而()f z仅在直线12x=上可微，但在 z 平面上,()fz处处不解析.例例 3 3 设()()3232f zmynxyi xlxy=+在上解析，求,l m n之值.解解 易得 2222,3,3,2.xyxyunxy umy vxlyvlxy=+=据 C.R.条件得 ()220nxylxyxy nl=（1）222233xyuvmynxxly=+即 ()()22330ml ynx+=（2）由（1）取,0 x y 得 nl=由（2）取0,0 xy=及0,0 xy=得3030mln+=+=故 3,1nlm=.例例 4 4 若函数()

5、f zxiy=+在区域 D 内解析，且在 D 内2vu=，试证()f z在 D 内必为常数.证证 若 u 为常数，从而2vu=为常数，从而()f z为常数，若 u，v 均不为常数，此时,xyxyu u vv与不同时恒为 0，但从20vu+=分别对,x y微分，得 20,20 xxyyuuvuuv=.40 上面两方程相容的条件为（代数知识）0 xxyyuvuv=即 0 xxyyuvuv=故 0 xyyxu vu v=（1）而由 C.R.条件，在 D 内 =,xyyxuv uv=（2）代入得 22220 xyxyuuvv+=+,从而在 D 内，有 0 xyxyuuvv=,故()f z在 D 内必为

6、常数.证证 由题设条件2vu=知:()2f zuiu=+,又由 C.R.条件，在 D 内2xyyuvuu=（3）及 2yxxuvuu=（4）（3）代入（4）得 ()2224yyyuuuuu u=即()24100yyuuu+=,又由（3）知0 xuuv=必为常数必为常数.例例 5 5 试证()()cossinxf zeyiy=+在 z 平面上解析，且()()fzf z=.证证 ()(),cos,sinxxu x yey v x yey=，而 cos,sin,sin,cosxxxxxyxyuey uey vey vey=41 在 z 平面上处处解析且合 C.R.条件，由定义 2.5 知()f z在

7、平面上解析，且 ()()cossinxxxyfzuiveyeyf z=+=+=.例例 6 6 若()()(),f zu x yiv x y=+在区域 D 内解析，且()()0 fzzD,则()()12,u x yc v x yc=()12,c c 为常数为 D 内两正交曲线族.证证 因为 ()()0 xxf zuivzD=+故在点(),z x y处，xxuv与不全为 0（1）设在(),x y处，0 xu 且0 xv，则曲线族(),u x yG=的斜率由 0 xyduu dxu dy=+求得 xuyuku=同理易得 xvyukv=故在点(),x y处 1yxxxuvyyxyvuvvkkuvvv=

8、，故曲线()1,u x yc=及()2,v x yc=在点(),x y正交.（2）设在点(),x y处，0 xu 且0 xv 或0 xu=且0 xv，此时过交点的两条切线必然一条为水平切线，另一条为铅直切线，它们仍然在交点处正交.（二二）初等解析函数初等解析函数 1、整幂函数即多项式函数在解析，有理分式函数在分母不为 0 点处解析.2、指数函数 由例 5 知()()cossinxf zeyiy=+在 z 平面上解析，且()()fzf z=.定义定义 2.42.4 zxiy=+，定义()cossinzxeeyiy=+为指数函数，常记为 zwe=.42 （1 1）基本性质基本性质 对实数()0zx

9、 y=来说，此处定义与通常实指数函数的定义是一致的.0zxee=,argzey=,在 z 平面上0ze.ze在上解析，且()zzee=.加法定理成立，即1212zzzzeee+=.ze是以2 i为基本周期的周期函数.注注 周期函数 若()f z当 z 增加一个定值w时，其值不变，即()()f zwf z+=，则称()fz为周期函数，称w为()f z的周期，若()f z的所有周期都是某一周期w的整数倍，则称w为()fz的基本周期.证证 显然，2 i为ze一个周期，设w为ze的任一周期 wabi=+，从而有()01cossinwaeeebib=+()10argarg12waweeaebkkz=02

10、2wk ik i=+=.极限limzze不存在,即 e无意义.对任意复数12zz、,有()12122zzeezzk i k=+.例例 7 7 试证 lim 1nznzen+=.分析分析 应用分析中的 LHospital 法则，证明 lim 1limarg 1argnzxnnznzeenzeyn+=+=证证 （1）令 22211nnnzxypnnn=+=+，故 22lnln12nnxypnn=+43 令1n=视为连续变量，由 LHospital 法则，有()()()22222222limlnlimln122 121lim21nnipxyx xyxxy=+=+即 limlnnnpx=.（2)令()

11、arg 11nyznQ nnarctgxnn=+=+,因为 ()()()02201limlim111lim111nyQ narctgxx yyxyyyx=+=+故 ()lim 1cossinnxznzeyiyen+=+=.补充练习补充练习 试证 ()zf ze=不是 z 的解析函数.证证 ()()Recos,Imsinxxf zeyf zey=cos,sinxxxyyxueyv ueyv=而0ze，又cos y和sin y不能同时为 0 对zxiy=+均不能使 C.R.条件,xyyxuv uv=同时成立，所以 ()zf ze=在任一点均不可微,即()zf ze=在处处不解析.五、小结五、小结

12、等函数的解析性；数函数的解析性.六、作业六、作业 ()()90911.31.2 5 6 8pp选 .七、学习要求七、学习要求 列出初等解析函数与对应实函数的异同！44 八、参阅文献八、参阅文献 1、6.2、初等解析函数（）初等解析函数（）一、目的和要求一、目的和要求 1、充分掌握正余弦、正余切函数及其性质，区分其在复数领域与实数领域中的区别 2、掌握双曲线函数及其解析性、周期性及其基本公式.二、重难点二、重难点 1、重点 三角函数、双曲函数及其性质.2、难点 不同复函数间的关系及其与实函数的关系.三、教法三、教法 课堂讲授法、采用启发式、电教、CIA 演示.四、教学内容（约四、教学内容（约 2

13、 2 课时）课时）（一一）复正、余弦函数复正、余弦函数 定义定义（由指数函数引出）z，称sin,cos22izizizizeeeezzi+=分别为 z 的正弦函数及余弦函数.基本性质基本性质 （1）对()0zx y=来说，此处所定义的函数与通常正弦及余弦函数的定义一致.（2）在z平面上是解析的，且()()sincos,cossinzzzz=.证证 ()()()()111sincos+=cosz222izizizizizizzeeieiezeeii=+=同理可证另一个.（3）sin z为奇函数，cosz为偶函数，即:()()sinsin,coscoszzzzz=.（4）通常的三角恒等式成立，如

14、()()22121212121212sincos1sinsincoscossincoscoscossinsinzzzzzzzzzzzzzz+=.试证 1212coscossinsinzzzz 45 ()()()()()()()()()()()1122112212121212121212121212122222442cosizizizizizizizizi zzi zzi zzi zzi zzi zzi zzi zzi zzi zzeeeeeeeeiieeeeeeeeeezz+=+=+=+原式 （5）sin z及cosz是以为2为基本周期的周期函数.证证 因为2为其周期，如 ()()()2222

15、cos22cos22i zi ziziiziizizeeze eeeeez+=+=.设 ()coscoszwz+=()coscos0zwz+=2sinsin022wwz+=（见（6）条）()22wkwkk=（6）sin z及cosz的零点与实数域内情形一致.例例 sin02izizizizeezeei=21ize=，令 zabi=+221aibe=()210bebann=故()znn=为sin z的零点.同理可推得cosz的零点.（7）在复数域内不能在断言sin1z,cos1z=，即 sin z及cosz在复平面上的无界函数 例例 取()0ziy y=，则 ()()()cos222i iyi

16、iyyyyeeeeeiy+=只要充分大，()cos iy就可大于任一预先给定的正数.46 注注 定义本身就反映了复正、余弦函数及复指数函数有着密切关系.特别地，对任何复数有 cossinizeziz=+这是 Eulor 公式在复数域内的推广.例例 1 1 求sin(12)i+的值.解解 ()()()()()1 21 222222222sin 1222cos1sin1cos1sin12sin1cos12sin12cos122iiiiiieeeeiiieieiieeeeichish+=+=+=+=+.例例 2 2 函数()1zf ze=除0z=外在上都有定义，试证明 （1）在去心半圆01,arg2

17、zz上()f z有界;（2）在上述半圆上()f z连续，但不一直连续;（3）在去心扇形01,arg2zz上()fz一致连续.分析分析 （1）证0M,使在此去心半圆上，()()0f zM z.（2）因为()f z在原点不连续，证明在原点附近总存在充分接近的两个点,z z，使()()f zf z不能任意小.（3）先证明()fz在有界闭集01,arg2zz上连续.证证 （1）令()cossin,0izrerir=+,因为()1cossinizrf zee=故()cosrf ze=当arg2z=时，cos0，由于xe为增函数，所以()cos01rf zee=()0r 47 （2）0z,知1z为z的连续

18、函数，因而()1zf ze=在上述去心半圆上连续，但不一致连续.事实上，对012=，无论多么小，总存在两点 122izk=+与122izk=+，虽然()441zzk=+（只要k充分大），但 1111 2 2220112 sin 2222ikikzzeeeek+=+=由（1）知()cosrf ze=，而当2时，有()()coscos0coscosrrrf zee=故()0lim0zf z=.若定义0z=时，()0f z=，则()1,00,0zezf zz=在有界闭扇形01,arg2zz上连续.从而一致连续()1zf ze=在01,arg2zz上一致连续.（二二）正、余切函数正、余切函数 定义定义

19、 2.62.6 规定 sincos11tanseccsccossincossinzzzzzzzzzz=、cot、分别称为 z 的正切、余切、正割及余割函数.48 基本性质基本性质 （1）cosz的零点()1,2nznn=+为解析函数tgz及secz在的全部奇点，sin z的零点(),nznn=为解析函数ctgz及cscz在的全部奇点，且在定义域内 ()()()()22sec,cscsecsec,csccsctgzz ctgzzzztgzzzctgz=（2）正、余切函数的周期为，正余割的周期为2.如()()()sinsintantancoscoszzzzzz+=+.例例 3 3 对z，若()ta

20、ntanzz+=，则()wkk=.证证 ()22sin1tancos1i zizzezzi e=+()()()222tan1i z wiziwzwtgzeeewkk+=.例例 4 4 当zxiy=+时，证明下列不等式（1）1sin2yyzee ；（2）tanyyyyeezee+.证证 （1）()1111sin2222izizizizizizyyzeeeeeeeei=+；（2）sintancosizizizizizizizizeeeezzzeeee=+，因由三角不等式 izizizizyyeeeeee+=+.（三三）双曲线双曲线 定义定义 2.72.7 规定 +sincos22sin1tan,c

21、othcostan11sec,csccossinzzzzeeeehzhzhzhzzhzhzhzhzhzhz=，并且分别称之为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数.49 双曲函数皆以2 i为基本周期，且都是解析函数，各有其解析区域，且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广.基本公式见().1 1618xT B题各公式.例例 4 4 （1）解方程 cos5zish=；（2）证明()th zithz+=.解解 （1）记 zxiy=+，coscossinzxchyixshy=原方程即 cossinsin5xxhyishyxi=可知 cos0 xchy=sin5xshysh=又因

22、为()1cos02yyhyee=+，故 cos0 x=，因此()12xkk=+代入得 ()()111515kkshyshy+=故()()11+5-12kzki k+=.（2）()()()sintancosh zih zih zi+=+sinh coscosh sincoscossinsinzh izh ihzh ihzh i=+sincoscossincoscossinsinsincostanhzihzhzihzhzhzhz=+=注注 无论是复三角函数，还是复双曲函数，都是指由复指数函数表示.五、小结五、小结 整函数；三角函数的无界性.六、作业六、作业 ()()92 211.13.14 3.p .50 七、补充及预习要求七、补充及预习要求 预习思考题 1.幂函数何时为单值函数，何时为多值函数？2.为何会产生多值？如何单值化？3.实基本初等函数推广到复数域后，产生哪些新性质？八、后记八、后记 1.参考文献1.2.5.