(5.1.2)--4.1.2矩阵乘法的性质.pdf

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1、矩阵的乘法的性质矩阵的乘法的性质性质性质矩阵乘法具有如下性质矩阵乘法具有如下性质()(2)()A BCABACBC ABACA+=+=+=+=+(1)()()AB CA BC=(3)()()()k ABkA BA kB=(4)()TTTABB A=1645,.117914ABBA=则有=则有22,ABBA与都是矩阵与都是矩阵,.ABBA但是但是1121,2315AB=设=设例例:矩阵乘法不满足交换律：矩阵乘法不满足交换律：ABBA,ABAC=即=即2 22 21 1,1 10 22 0AB=2 22 21 1,1 12 00 2AC=.BC但是但是2 001 1,1021220BCA=设设例例

2、:并不意味着并不意味着并不意味着并不意味着ABAC=BC=ABCB=AC=矩阵乘法不满足消去律：矩阵乘法不满足消去律：.0=BA但是但是0,0,AB则则1122,1122AB=设=设例例:并不意味着并不意味着AOBO=或=或ABO=矩阵乘法存在零因子：矩阵乘法存在零因子：一、对于线性方程组一、对于线性方程组（*）=+=+=+=+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222222111212111 如果，我们记如果，我们记1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAXaaaxb=那么上述线性方程组那么上述线性方程组（*）可以写

3、成可以写成AX=对于线性方程组对于线性方程组（*）=+=+=+=+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222222111212111 矩阵行列的多功能性：矩阵与列向量的乘法矩阵行列的多功能性：矩阵与列向量的乘法另外，如果我们将矩阵另外，如果我们将矩阵的列向量分别记为的列向量分别记为A，那么线性方程组，那么线性方程组（*）又可写成又可写成12,n 1 122nnxxx+=+=矩阵行列的多功能性：矩阵与列向量的乘法矩阵行列的多功能性：矩阵与列向量的乘法12,nA=此时，我们不妨将此时，我们不妨将记成记成A1 122nnAXxxx=+=+12121 122

4、,nnnnxxxxxx=+=+1 122nnxxxAX+=根据线性方程组的两种表示可得根据线性方程组的两种表示可得这意味着这意味着12121 122,nnnnxxxxxx=+=+尽管每个尽管每个不是数，但我们仍然可以像矩阵乘法定不是数，但我们仍然可以像矩阵乘法定义的那样，将义的那样，将与列向量与列向量相乘。相乘。i 12,n X矩阵行列的多功能性：矩阵与列向量的乘法矩阵行列的多功能性：矩阵与列向量的乘法ij s nkl n mABab=11 112 2121 122 221 12 2jjn njjjn njsjsjsn nja ba bababababa babab+AB的第的第j列为列为:1

5、122jjnjnbbb=+=+矩阵行列的多功能性：矩阵行列的多功能性：一般的矩阵乘法一般的矩阵乘法2121,jjnjnbbb=不难看出有下式成立：不难看出有下式成立：ij s nkl n mABab=11 121 211122,nnmmnmnABbbbbbb=+=+11121212221212,mmnnnnmbbbbbbbbb=矩阵行列的多功能性：矩阵行列的多功能性：一般的矩阵乘法一般的矩阵乘法类似地有类似地有这两个式子这两个式子表明表明：的列向量组可以由的列向量组可以由的列向量组线性表出。类似地，的列向量组线性表出。类似地，的行的行向量组可以由向量组可以由的行向量组线性表出。的行向量组线性表出。ABAABB=11121111 112 2121222221 122 22121 12 2nn nnn nsssnnsssn naaaaaaaaaaaaaaaaAaBa+=+=+