(1.10.1)--1.10向量的混合积.pdf

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1、10.1.向量混合积的定义和性质向量混合积的定义和性质10.2.向量混合积的坐标表示向量混合积的坐标表示1010向量的混合积向量的混合积定义定义,()a b cabc设已知三个向量数量称为这三个向量的称为这三个向量的混合积混合积，记为，记为或或,a b c.a b c10.1.向量向量混合积的定义和性质混合积的定义和性质 混合混合积的几何意义积的几何意义向量的混合积向量的混合积cbacba )(的的绝对绝对值值表示以向量表示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体平行六面体的体积积.cabba cbacbacba,cos)(混合混合积的几何意义积的几何意义向量的混合积向量的混合积cbacba

2、 )(的的绝对绝对值值表示以向量表示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体平行六面体的体积积.(a,b,c)成右手系时混合成右手系时混合积为正积为正；否则，为负否则，为负.cbacbacba,cos)(cabba 混合积混合积cbacba )(表示表示了了定向为定向为(a,b,c)的的平行六面体的平行六面体的定向定向体积体积.混合混合积的性质积的性质)1(cbacba )(acb )(.)(bac (2)三向量三向量 a、b、c共面共面.0 cba10.2.混合积的坐标表示混合积的坐标表示（直角坐标系）（直角坐标系）,321kajaiaa ,321kbjbibb 设设,321kcjcicc

3、 kbabajbabaibababbbaaakjiba122131132332321321 312212311312332cbabacbabacbaba cbacba )(321321321cccbbbaaa 这是混合积的这是混合积的右手直角坐标右手直角坐标表达式表达式课后练习课后练习：设设u=11ea+21eb+31ec，12eav+22eb+32ec，w=13ea+23eb+33ec,(wvu,)=333222111cbacbacba(1e,2e,3e).证明证明.0333222111 ZYXZYXZYX),(),(),(333222111ZYXcZYXbZYXa共面的充要条件是共面的充要

4、条件是推论推论在仿射坐标系下在仿射坐标系下，三非零向量，三非零向量例例2222,证明证明，当且仅当，当且仅当两两两垂直或有零向量时等号成立两垂直或有零向量时等号成立.,证证|=|sin,=|cos,222222,=|sin,cos,注：棱长一定的平行六面体中，长方体的体积最大注：棱长一定的平行六面体中，长方体的体积最大.例例设设不共面，求不共面，求对于对于的分解式的分解式.cba,dcba,解解因为因为 a、b、c 不共面，不共面，故可故可设设.dxaybzc上式两边同时点乘上式两边同时点乘,bc得得()()()().dbcxabcybbczcbc().()dbcxabc同理，同理，(),()

5、adcyabc().()abdzabc克莱姆克莱姆(1704-1752)瑞士瑞士数学家数学家例例 a aa ba babb ab b证明证明拉格朗日恒等式拉格朗日恒等式：对任意：对任意4 4个向量，有个向量，有证证abababab（）（）=（）()()a a bb a ab()()()().a ab bb aa b拉格朗日拉格朗日(1736-1813)法国数学家法国数学家向量的内积向量的内积向量的外积向量的外积向量的混合积向量的混合积（结果是一个（结果是一个数量数量）（结果是一个（结果是一个向量向量）（结果是一个（结果是一个数量数量）（注意垂直（注意垂直、共线、共面的条件）共线、共面的条件）小小结结