(3.12.1)--3.12单叶双曲面的直母线的性质.pdf

《(3.12.1)--3.12单叶双曲面的直母线的性质.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(3.12.1)--3.12单叶双曲面的直母线的性质.pdf（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、证明证明若一条直线是该单叶双曲面上的一条直线若一条直线是该单叶双曲面上的一条直线，则，则它一定与它一定与 xOy 平平面相交面相交，且，且交点交点(x0,y0,0)在腰椭圆上，满足在腰椭圆上，满足单叶双曲面单叶双曲面上的任意直线一定是上的任意直线一定是 u 族直母线或者族直母线或者v 族直母线中的一条族直母线中的一条.定理定理2222221xyzabc22002201.0 xyabz设所讨论的直线的方程为设所讨论的直线的方程为00.xxXtyyYtzZt3131单叶双曲面单叶双曲面的直母线的的直母线的性质性质经过经过点点(x0,y0,0)的的 u 族中的直线为族中的直线为0000()(1)(1

2、)(1)(1)xzyacbxzyacyxbaxyabb000000()(1)()(1)xzywuacbxzyuwacb0000(1)(1)xywuabxyuwab01,ywb 由由第一个方程，可令第一个方程，可令，也满足第二个方程，也满足第二个方程0 xua经过经过点点(x0,y0,0)的的 u 族中的直线为族中的直线为0000()(1)(1)(1)(1)xzyacbxzyacyxbaxyabb类似计算类似计算可得，经过点可得，经过点(x0,y0,0)的的 v 族中的直线为族中的直线为0000()(1)(1)(1)(1)xzyacbxzyacyxbaxyabb下面只要证明直线方程下面只要证明直

3、线方程是上面两条直线中的一条即是上面两条直线中的一条即可可.它们都过同一个点，故它们都过同一个点，故只需验证它们的只需验证它们的方向向量相同方向向量相同.00 xxXtyyYtzZt0022:yxcabba方向数方向数0022:yxcabba方向数方向数按照假设，整条直线按照假设，整条直线都落在给定的单叶双曲面上，都落在给定的单叶双曲面上，00 xxXtyyYtzZt故故对于任意参数对于任意参数 t，有，有22200222()()()1xXtyYtZtabc220022010 xyabz已知已知222200222222()()0 x Xy YXYZttababc002222222200 x X

4、y YabXYZabc0022:yxcX Y Zabba 例例求过单叶双曲面求过单叶双曲面上点上点(6,2,8)的的直母线直母线方程方程.22219416xyz解解单叶双曲面单叶双曲面的两族直母线方程：的两族直母线方程：22219416xyz()(1)342()(1)342xzywuxzyuw与与()(1)342()(1)342xzytvxzyvt把点把点(6,2,8)分别代入上面两组方程，求得分别代入上面两组方程，求得:1:2w u 与与0t 性质性质1 1 单叶双曲面单叶双曲面上异族的任意两直母线必上异族的任意两直母线必共面共面.证证:单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为单叶双曲面的两个异

5、族直母线方程分别为:这两条直线共面的充分必要条件是这两条直线共面的充分必要条件是()(1),()(1),xzywuacbxzyuwacb()(1),()(1),xzytvacbxzyvtacb0.wuwuabcuwuwabctvtvabcvtvtabc1wuwuabcwuwuuwuwuwuwabctvttvtvabcvabcvtvtvtvtabc 00400wwuwuwtvtvabcvt 4()0.wvuttwuvabc 000040000wuwutvabcvt 性质性质2 2单叶双曲面单叶双曲面上同族的任意两直母线必上同族的任意两直母线必异面异面.证证:单叶双曲面的单叶双曲面的两条不同的两条

6、不同的 u 族直母线族直母线方程分别为方程分别为:这两条直线异面的充分必要条件是这两条直线异面的充分必要条件是()(1),()(1),xzywuacbxzyuwacb()(1),()(1),xzytvacbxzyvtacb0.wuwuabcuwuwabctvtvabcvtvtabc1wuwuabcwuwuuwuwuwuwabctvttvtvabcvabcvtvtvtvtabc 00400wuwuwwtvtabcvtt 24()wvutabc 000040000uwuwvtabcvt 0.单叶双曲面的单叶双曲面的 u 族和族和 v 族无公共直母线族无公共直母线.推论推论1经过单叶双曲面上每一点都恰有两条直母线经过单叶双曲面上每一点都恰有两条直母线.推论推论2小结小结单叶双曲面的直母线的性质