(6.6.1)--5.6.1矩阵的相似对角化-1.pdf

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1、矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化Diagonalization Theorem定理定理n 阶矩阵阶矩阵 A 可相似对角化的充分必要条可相似对角化的充分必要条件是件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。设设A是是n阶方阵，可相似对角化。则存在阶方阵，可相似对角化。则存在 n阶可逆阶可逆矩阵矩阵 P，使，使=nAPP211令令，则，则。21nXXXP=iiiAXX=由由 P可逆可逆线性无关线性无关nXXX,21 nXX,1 是是 A的特征值的特征值n,21于是于是是是 n阶方阵阶方阵 A的的 n个线性无关的特个线性无关的特征向量。征向量。nXXX,21定理定理n 阶矩阵阶矩

2、阵 A 可相似对角化的充分必要条可相似对角化的充分必要条件是件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。令令，则，则。21nXXXP=iiiAXX=由由 P可逆可逆线性无关线性无关nXXX,21 nXX,1 反之，设反之，设n阶方阵阶方阵 A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，它们对应的特征值为，它们对应的特征值为nXXX,21n,21反之，设反之，设n阶方阵阶方阵 A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，它们对应的特征值为，它们对应的特征值为则则nXXX,21n,21iiiXAX=（）ni,2,1=令令，因，因为为 n个线性无关的个线性无关的 n元列

3、向量，故元列向量，故 P是是 n阶可逆方阵。阶可逆方阵。21nXXXP=nXXX,21又又21nXXXAAP=21nAXAXAX=2211nnXXX=nnXXX2121=nP21故故=nAPP211即即 A可对角化。可对角化。注注1 对于对于 n 阶方阵阶方阵 A，若能找到可逆矩阵，若能找到可逆矩阵 P，使得使得 P-1AP=为对角矩阵，则称为方阵为对角矩阵，则称为方阵 A 可可(相相似似)对角化。对角化。注注2 由这个定理可知，考察由这个定理可知，考察 n 阶方阵阶方阵 A 是否可是否可相似对角化的问题转化为考察相似对角化的问题转化为考察 A 是否有是否有 n 个线性无个线性无关的特征向量。

4、关的特征向量。注注3 3若若 A 可对角化，则与可对角化，则与 A 相对应的对角阵相对应的对角阵的主对角元正好是的主对角元正好是 A 的全部特征值的全部特征值 1,2,n,并且特征向量并且特征向量 X1,X2,Xn的顺序与特征值的顺序与特征值 1,2,n的顺序相对应。的顺序相对应。1)特征向量不唯一；特征向量不唯一；2)X1,X2,Xn的顺序随特征值的顺序随特征值 1,2,n的顺序改变而改变。的顺序改变而改变。注注4 4P=X1,X2,Xn 不唯一：不唯一：例例已知矩阵已知矩阵有特征值有特征值（二重）和（二重）和，对应的特征向量，对应的特征向量分别为分别为。由于由于111222111A=02

5、1,1,0 1,0,1,1,2,1TTT 1111020011故这三个特征向量线性无关，于是故这三个特征向量线性无关，于是可对角化。可对角化。A令令则则111001121P=1000000200PAP=故这三个特征向量线性无关，于是故这三个特征向量线性无关，于是可对角化。可对角化。A例例已知矩阵已知矩阵问问是否可以对角化？是否可以对角化？解解 首先求出其特征多项式首先求出其特征多项式由此可知其特征值为由此可知其特征值为123023003A=A|(1)(2)(3)IA=1,2,3它们对应的特征向量分别为它们对应的特征向量分别为2,1,0,91,0,3,0 12TTT可以验证这三个向量线性无关，故矩阵可以验证这三个向量线性无关，故矩阵 A 可可以对角化，取以对角化，取9210012130P=则则1000003120PAP=例例 试说明下面两个矩阵试说明下面两个矩阵均不可以对角化。均不可以对角化。010110001,430000102AB=