(4.8.1)--3.8.1非齐次线性方程组的解集的结构.pdf

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1、线性方程组有解线性方程组有解的充分必要条件的充分必要条件数域数域K上的上的n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组（）（）的一个解也可视为的一个解也可视为中的一个向量。中的一个向量。将非齐次线性方程组将非齐次线性方程组()的常数项均替换的常数项均替换为零得到数域为零得到数域K上的上的n元齐次线性方程组元齐次线性方程组1 122nnxxx+=nK（*）称之为非齐次线性方程组称之为非齐次线性方程组()的的导出组导出组。1122nnxxx+=性质性质（1）设设是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组()的的任意两个解，则任意两个解，则是其导出组是其导出组（*）的的一个解一个解；12,12（2）设设是非齐次

2、线性方程组是非齐次线性方程组()的一的一个解，个解，是其导出组是其导出组（*）的一个解，则的一个解，则是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组()的解。的解。0 0+（）（）1 122nnxxx+=（*）1122nnxxx+=定理定理设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组()有无穷多个有无穷多个解，则其通解表达式为解，则其通解表达式为其中其中是方程组是方程组()的一个特解，的一个特解，是导出组是导出组（*）的一个基础解系，的一个基础解系，是是t个任意常数。个任意常数。12120ttkkk +0 12,t tkkk,21由此可知，方程组由此可知，方程组()的解集为的解集为1212012|,tttkkk

3、kkkK +=+=+=+=+=+=+=+=+484355 12 22 12 0 54321542154321321xxxxxxxxxxxxxxxxx解解 ,bAA=000000000000121200000111484355121022121111000111行行求下列方程组的一般解求下列方程组的一般解例=000000000000121200000111484355121022121111000111行行=+=+=+=+122 0 543321xxxxxx=+=+543231212xxxxxx 024511,00,20 02Txxx=求特解：求特解：考虑方程组考虑方程组=+=+54323122

4、xxxxxx=+=+=+=+122 0 543321xxxxxx 一般解为一般解为0112233Xk Xk Xk X+，求导出组的基础解系求导出组的基础解系 245425354122,1,0,11,22,1,1010 01001 01001 0 1,TTTxxxxxxxxx=这里这里是任意常数。是任意常数。123,kkk解解 因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩阵阵 A的秩小于等于的秩小于等于2。又又A的前两行线性无关，说明的前两行线性无关，说明 A的秩大于等于的秩大于等于2。由此得。由此得 秩秩(A)=2。于是，原方程组于是，原方程组的导出方程组的

5、导出方程组 AX=0的基础解系含的基础解系含 3-2=1个解。个解。=+=+=+=+=+=+5220231321321321bxaxxxxxxxx的两个解的两个解，求其一般解。，求其一般解。)9,3,5(),1,1,1(已知非齐次方程组已知非齐次方程组例=+=+=+=+=+=+5220231321321321bxaxxxxxxxx的两个解的两个解，求其一般解。，求其一般解。)9,3,5(),1,1,1(已知非齐次方程组已知非齐次方程组例可取可取)10,4,6()9,3,5()1,1,1(1=X作为导出方程组的基础解系，取作为导出方程组的基础解系，取作为原作为原方程组的特解，则原方程组的一般解为

6、方程组的特解，则原方程组的一般解为)1,1,1(0=X110XkX+例例线性方程组线性方程组当当取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多个取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多个解，并作出相应的解，并作出相应的几何解释几何解释，在有解时求出其，在有解时求出其全部解全部解。12(3)332(1)1xyzxayzxaybza+=+=+=,a b首先对该线性方程组的系数矩阵做初等变换首先对该线性方程组的系数矩阵做初等变换1111111123330111211001aaababa+此时三个平面交于一条直线。此时三个平面交于一条直线。1111111123330111211001aaababa+0,1a

7、b=（1）时，方程组有无穷多解，通解表达时，方程组有无穷多解，通解表达式为式为0,1,00,1,1TTk+（2）时，方程组无解，此时三个时，方程组无解，此时三个平面互不平行，且两两相交。平面互不平行，且两两相交。0,1ab=1111111123330111211001aaababa+（3）时，方程组有唯一解，三时，方程组有唯一解，三个平面交于一点。个平面交于一点。1,1ab（4）时，方程组有无穷多解，时，方程组有无穷多解，此时三个平面交于一条直线，而且第一个和此时三个平面交于一条直线，而且第一个和第三个平面重合。第三个平面重合。0,1,00,1,1TTk+1,2ab=（5）时，方程组无解时，方

8、程组无解时，第二个和第三个平面平行但时，第二个和第三个平面平行但是不重合，第一个平面与它们相交是不重合，第一个平面与它们相交时，三个平面两两交成三条平行时，三个平面两两交成三条平行直线。直线。1,2ab=3b=3b 1111111123330111211001aaababa+（1）求线性表出表达式；）求线性表出表达式；（2）判别向量的线性相（无）关性；）判别向量的线性相（无）关性；（3）求向量组的秩与极大线性无关组；）求向量组的秩与极大线性无关组；（4）求矩阵的秩；）求矩阵的秩；（5）求齐次线性方程组的基础解系；）求齐次线性方程组的基础解系；（6）掌握非齐次线性方程组解判断与解的结构；）掌握非齐次线性方程组解判断与解的结构；（7）求子空间的基、坐标与维数。）求子空间的基、坐标与维数。