(3.5.1)--3.5柱面的方程(I).pdf

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1、2424柱面的柱面的方程（方程（I I）24.1.特殊柱面的方程特殊柱面的方程24.2.一般柱面的方程一般柱面的方程定义定义在空间，由平行于定方向，并且与一条定曲线相交的一族平行在空间，由平行于定方向，并且与一条定曲线相交的一族平行直线产生的曲面叫做直线产生的曲面叫做柱面柱面.定方向叫做柱面的定方向叫做柱面的方向方向，定曲线叫做柱面的，定曲线叫做柱面的准线准线，那族平行直线中的，那族平行直线中的每一条直线都叫做柱面的每一条直线都叫做柱面的 母线母线.1 1 平面平面OXYZ准线准线:x y=0母线母线:与与 z 轴平行轴平行24.124.1特殊柱面特殊柱面的的方程方程准线准线:xOy 平面上的

2、椭圆平面上的椭圆.母线母线:与与 z 轴平行轴平行.例例)0,0(12222 babyax2 2 椭圆柱面椭圆柱面XYZO例例)0,0(12222 babyax母线母线:与与z 轴平行轴平行.准线准线:xOy 平面上的双曲线平面上的双曲线Oyxz3 3 双曲柱面双曲柱面XOYZ例例y 2=2px准线准线:xOy 平面上的抛物线平面上的抛物线.母线母线:与与z 轴平行轴平行.4 4 抛物柱面抛物柱面XOYZ椭圆柱面、双曲柱面和抛椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面统称为物柱面统称为二次柱面二次柱面.上述柱面方程的特征上述柱面方程的特征（仿射坐标系仿射坐标系）：(1)F(x,y)=0：(2)G(x,z)=

3、0：准线准线:xOz 平面上的曲线平面上的曲线G(x,z)=0,母线母线:y 轴平行；轴平行；(3)H(y,z)=0：准线准线:yOz 平面上的曲线平面上的曲线H(y,z)=0,母线母线:x 轴平行；轴平行；准线准线:xOy 平面上的曲线平面上的曲线F(x,y)=0,母线母线:z 轴平行；轴平行；总之总之，若曲面方程中缺少一个变量若曲面方程中缺少一个变量，则该曲面是一个柱面则该曲面是一个柱面，且且这个柱面的这个柱面的母线母线与与缺少的这个变量对应的坐标轴平行缺少的这个变量对应的坐标轴平行.设设柱面的准线方程柱面的准线方程：12(,)0:.(,)0F x y zCF x y z设设柱面母线的方向

4、向量柱面母线的方向向量：v=(X,Y,Z).111-x xyyzzXYZ0),(,0),(11121111 zyxFzyxF(,)M x y z在柱面上在柱面上点点0111(,)Mx y z使得使得 M 在过在过 M0有准线上一点有准线上一点且方向为且方向为 v 的直线上的直线上24.2 24.2 一般一般柱面的方程（柱面的方程（仿射坐标系仿射坐标系）111-:x xyyzzLXYZ0),(,0),(11121111 zyxFzyxF=t12(,)0(,)0F xXt yYt zZtF xXt yYt zZt0),(zyxF可得柱面方程：可得柱面方程：例例仿射坐标系仿射坐标系下，柱面的准线方程

5、为下，柱面的准线方程为2222221222xyzxyz而母线的方向向量是而母线的方向向量是(1,0,1)，求柱面的方程，求柱面的方程.解解的母线的母线111101xxyyzz2221112221111222xyzxyz1111(,)M x y z设设是准线上的点，则是准线上的点，则1111(,)M x y z过点过点=t222222()()12()2()2xtyztxtyzt上式减去下式，得上式减去下式，得2()0.zt所以所以.tz22()1xzy柱面方程为柱面方程为2221112221111222xyzxyz111,xxtyyzzt小结小结一般一般柱面柱面的方程（的方程（仿射坐标系仿射坐标系）特殊柱面特殊柱面的方程（的方程（仿射坐标系仿射坐标系）