(2.1.1)--2.1平面的方程（仿射坐标系）.pdf

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1、11.1.向量式参数方程向量式参数方程11.2.坐标式参数方程坐标式参数方程11.3.点位式方程点位式方程11.4.三点式方程三点式方程11.5.截距式方程截距式方程11.6.一般式方程一般式方程11 11 平面的方程（仿射坐标系）平面的方程（仿射坐标系）在空间给定一点在空间给定一点 M0 与与两个不共线的向量两个不共线的向量，ab、注：注：任何一对与平面平行任何一对与平面平行的不共线向量都可以作为的不共线向量都可以作为平面的方位向量平面的方位向量.那么通过点那么通过点 M0且与向量且与向量平行的平面平行的平面就就唯一确定了唯一确定了.ab、aM0b向量向量叫做平面叫做平面的的方位向量方位向量

2、.ab、11.111.1.向量式参数方程向量式参数方程0r1e2e3eraM0bM取取仿射标架仿射标架O;,，1e3e2e设点设点 M0 的向径的向径0OM 0r平面平面上任意一点上任意一点 M 的向径为的向径为OMr点点 M 在平面在平面上上向量向量与与，共面，共面，0M Mab0M Muab0rruab0ruabr（其中（其中 u，v是参数）是参数）O0ruabr0r1e2e3eraM0bMM0(x0，y0，z0)，123(,),bb b b设设，123(,)aa a aO0000(,),rx y z则则M(x,y,z)，(,).rx y z011022033,y,.xxaubya ubz

3、za ub11.211.2.坐标式参数方程坐标式参数方程（其中（其中 u，v是参数）是参数）11.311.3.点点位式方程（位式方程（仿射坐标系仿射坐标系）点点 M 在平面在平面上上向量向量与与，共面，共面，0M Mab0M M0a b,0001231230 xxyyzzaaabbb0r1e2e3eraM0bMO例例已知不共线的三点已知不共线的三点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过求过M1,M2,M3三点的平面方程三点的平面方程.解解设点设点 M(x,y,z)为平面上一点，则为平面上一点，则11213M MM MM M，共面共面.12131xx

4、xxxx12131yyyyyy121310zzzzzz11.411.4.三点式方程（三点式方程（仿射坐标系仿射坐标系）123xxxx123yyyy123zzzz01111OM1(a,0,0)M2(0,b,0)M3(0,0,c)00 xa00yb00zc01111解解bcxacyabzabc11.511.5.截距式方程（截距式方程（仿射坐标系仿射坐标系）例例已知三点已知三点 M1(a,0,0),M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中其中，求过，求过M1,M2,M3三点的平面方程三点的平面方程.0abc 1 czbyaxx轴上截距轴上截距y轴上截距轴上截距z轴上截距轴上截距000123123

5、0 xxyyzzaaabbb任一平面都可以用任一平面都可以用点位式方程表示：点位式方程表示：2323,aaAbb1313,aaBbb 1212.aaCbb0,AxByCzD231312000231312()()()0aaaaaaxxyyzzbbbbbb000()DAxByCz 其中：其中：一次方程来表示一次方程来表示（A,B,C 不全为不全为 0）.表明空间任一平面都可以用关于表明空间任一平面都可以用关于 x,y,z 的三元的三元11.611.6.一般式方程（一般式方程（仿射坐标系仿射坐标系）反过来，也可以证明，任一关于反过来，也可以证明，任一关于 x,y,z 的三元一的三元一次方程次方程都表

6、示一个平面都表示一个平面（A,B,C 不全为不全为 0）.0AxByCzD不失一般性，设不失一般性，设0A,则则2()0,DAxAByACzA即即000DxyzABACA点点和两个不共线向量和两个不共线向量(B,-A,0)(C,0,-A)决定的平面决定的平面.(,0,0)DA0001231230 xxyyzzaaabbb11.611.6.一般式方程（一般式方程（仿射坐标系仿射坐标系）(A,B,C)是与平面是与平面垂直垂直的一个向量（的一个向量（直角坐标系直角坐标系）.2(,0)(,0,)0(,)0ijkBACABAAAB ACCA0AxByCzD1230.ArBrCr定理定理（仿射坐标系仿射坐

7、标系）向量向量 r(r1,r2,r3)与平面与平面平行平行或在平面上或在平面上0AxByCzD注：注：平面方程中一次项的系数决定了这个平面的方向平面方程中一次项的系数决定了这个平面的方向.1230.ArBrCr定理定理（仿射坐标系下）（仿射坐标系下）向量向量 r(r1,r2,r3)与平面与平面平行平行或在平面上或在平面上0AxByCzD000DxyzABACA点：点：方位向量：方位向量：(B,-A,0)和和(C,0,-A)(,0,0)DA证明证明 平面平面的点位式方程的点位式方程（不失一般性，设（不失一般性，设）：）：0AxByCzD0A1230.ArBrCr定理定理（仿射坐标系下）（仿射坐标

8、系下）向量向量 r(r1,r2,r3)与平面与平面平行平行或在平面上或在平面上0AxByCzD123000rrrBACAr(r1,r2,r3)与与(B,-A,0)和和(C,0,-A)共共面面1230.ArBrCrr(r1,r2,r3)与平面与平面平行平行0AxByCzD证明证明平面一般平面一般式式方程的几种特殊情况：方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；:0 DCzByAx如果平面通过原点，那么如果平面通过原点，那么 D=0.反过来，反过来，,0)2(Ax 轴上任意点轴上任意点(x,0,0)都不满足方程，都不满足方程，当当 D=0 时，时，x 轴上每一点都满足方程

9、，轴上每一点都满足方程，反过来，当平面平行于反过来，当平面平行于 x 轴时，轴时，当平面通过当平面通过 x 轴时，轴时，当当 D 0 时，时，所以所以平面与平面与 x 轴平行轴平行；所以所以平面通过平面通过 x 轴轴.D 0，A=0;D=A=0.当且仅当当且仅当 D=0，平面通过原点，平面通过原点当且仅当当且仅当 D 0，C=0（B=0 或或 A=0）,当且仅当当且仅当 D=0,C=0（B=0 或或 A=0）,平面平行于平面平行于 z 轴（轴（y 轴或轴或 x 轴）轴）平面通过平面通过 z 轴（轴（y 轴或轴或 x 轴）轴）平面一般平面一般式式方程的几种特殊情况：方程的几种特殊情况：:0 DC

10、zByAx当且仅当当且仅当 D 0,B=C=0（A=C=0 或或 A=B=0）,平面平行于平面平行于 yOz 坐标面（坐标面（xOz 面或面或 xOy 面）面）当且仅当当且仅当 D=0,B=C=0（A=C=0 或或 A=B=0）平面即为于平面即为于 yOz 坐标面（坐标面（xOz 面或面或 xOy 面）面）例例仿射坐标系下，求通过点仿射坐标系下，求通过点 M1(2,-1,1)与与 M2(3,-2,1)，且平行于，且平行于 z 轴的平面的方程轴的平面的方程.设平行于设平行于 z 轴的平面方程为轴的平面方程为Ax+By+D=0.因为它通过点因为它通过点 M1(2,-1,1)与与 M2(3,-2,1)，所以有所以有 2A B D0，3A2B D0，解解所求平面方程为所求平面方程为10.xy 故，故，A=B，A=D.小结小结平面的方程平面的方程向量式参数方程向量式参数方程坐标式参数方程坐标式参数方程点位式方程点位式方程 一般式方程一般式方程截距式截距式方程方程三点式方程三点式方程仿仿射射坐坐标标系系