(4.2.1)--4.2空间的仿射坐标变换.pdf

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1、3636空间的仿射坐标变换36.1.n 维向量空间的仿射坐标变换维向量空间的仿射坐标变换36.2.两个仿射坐标系的定向关系两个仿射坐标系的定向关系36.136.1.n 维向量空间的仿射维向量空间的仿射坐标变换坐标变换基变换：基变换：设设与与是是n维向量空间的两组基维向量空间的两组基.设设则上式则上式可以表为可以表为n ,21n ,21 nnnnnnnnnnaaaaaaaaa 221122221122122111111112121222121212(,)(,).nnnnnnnnaaaaaaaaa 称称 P 为由基为由基到基到基的的过渡矩阵过渡矩阵.n ,21n ,21上述公式上述公式称为基称为基

2、到基到基的的基变换公式基变换公式.1212(,)(,)nnP n ,21n ,21记记111212122212,nnnnnnaaaaaaPaaa(1)过渡矩阵是可逆矩阵过渡矩阵是可逆矩阵；过渡矩阵的性质：过渡矩阵的性质：(2)若若 P 是是到到的过渡的过渡矩阵，则矩阵，则 P-1是是到到的过渡的过渡矩阵矩阵.m ,21m ,21m ,21m ,21下面考虑同一个向量在不同基下的坐标有什么关系？下面考虑同一个向量在不同基下的坐标有什么关系？设设与与是向量空间是向量空间 V 中的两组基，中的两组基，那么对那么对 V 中的任意向量中的任意向量，有：，有：12,n 12,n V1212(,)nnxxx

3、 1212(,)nnxxx 1212(,)(,)nnP 1212(,)nnxxPx 1122nnxxxxPxx（向量的仿射坐标变换公式向量的仿射坐标变换公式）定理定理.设设 V 是是 n 维向量空间，维向量空间，与与是是V 的两组基，的两组基，P是是到到的过渡的过渡矩阵矩阵.任取任取，设，设关于基关于基和基和基的坐标分别为的坐标分别为和和则则n ,21n ,21n ,21n ,21V n ,21n ,21),(21nxxx12(,),nxxx1122.nnxxxxPxx定义定义平面（或空间）的两个仿射（直角）坐标系，平面（或空间）的两个仿射（直角）坐标系，如果它们都是右手系，或者它们都是左手系

4、，则称它们是如果它们都是右手系，或者它们都是左手系，则称它们是同同定向的定向的；如果一个是左手系，一个是右手系，则称它们是如果一个是左手系，一个是右手系，则称它们是反定向的反定向的.36.236.2.两个仿射坐标系的定向关系两个仿射坐标系的定向关系定理定理 仿射坐标系仿射坐标系和和的过渡矩阵记为的过渡矩阵记为 P，I 和和 II 为为同定向同定向的的充分必要条件充分必要条件是是|P|0.12I;,O e e12II;,O ee证明证明设设利用向量外积的定义，可知结论成立利用向量外积的定义，可知结论成立.则则1212.aaPbb.12|Pee又又121 11 22 122()()eea eb e

5、a eb e1 21212()abbaee11 112,ea eb e22122,ea eb e定理定理 仿射坐标系仿射坐标系和和的的过渡矩阵记为过渡矩阵记为P，I 和和 II 为为同定向同定向的的充分必要条件充分必要条件是是|P|0.123I;,O e e e123II;,O eee提示提示设设证明证明111123222123333(,)(,).abceeeabce e eabc11 11213,ea eb ec e2212223,ea eb ec e33 13233.ea eb ec e小结小结n 维空间的维空间的向量向量仿射坐标仿射坐标变换公式变换公式过渡矩阵过渡矩阵两个仿射坐标系的两个仿射坐标系的定向关系定向关系