(6.1.1)--5.1.1等价关系与集合的划分.pdf

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1、等价关系与集合的划分等价关系与集合的划分定义定义 设设是两个集合，称下述集合是两个集合，称下述集合是是S与与M的的笛卡尔积笛卡尔积(或或有序积有序积)，一般记为，一般记为。(,)|,a baS bM,S MSM(,)a b(,),(,)a bc d笛卡尔积中的元素笛卡尔积中的元素称为称为序偶序偶(或或有序对有序对)。对任意两个序偶对任意两个序偶，有，有(,)(,),a bc dac bd=定义定义设设S是一个非空集合，是一个非空集合，则，则称称W是是S上的一个上的一个二元关系二元关系。若。若，则称则称a 对对 b 有有 W 关系关系，记为，记为或者或者。SSW(,)a bW aWbab=W空关

2、系空关系：SSW=全域关系全域关系：(,)|Wa aaS=恒等关系恒等关系：例例（1）ZZbaZbabaW=2,|,1 RRbaRbabaW=,|,2（2）=NNbaNbabaW|,|,3（3）KKbaKbabaW=,|,4（4）定义定义集合集合S上的一个二元关系上的一个二元关系，1.aa,a b cS,a b cS 有有如果具有如下如果具有如下性质：性质：abba2.,ab bcac3.则称则称是是S上的一个上的一个等价关系等价关系。设设是是S上的一个等价关系，对任意的上的一个等价关系，对任意的令令称之为由称之为由 a 确定的确定的等价类等价类。我们经常用到如下几个事实。我们经常用到如下几个

3、事实aS|,ab bS ba=aa（1）（3）属于同一个等价类属于同一个等价类,x yxyxaxa（2）（4）xyxy=性质性质对对S上的等价关系有上的等价关系有a SSa=（2）。Sba,ab=ab=（1）对）对，有，有或或；定理定理 设设是非空集合是非空集合 S 上的一个等价关系，上的一个等价关系，那么那么构成构成 S 的一个划分。的一个划分。|a aS 定义定义 设设是非空集合是非空集合S的子集族，若的子集族，若IiSi|IiSi|（1）则称此子集族为则称此子集族为S的一个的一个划分划分，记为，记为。()S（3）ii ISS=（2）,ijSSi jI ij=1,2,1,0n ,a bab

4、 (mod)abn 例例 设设n是正整数，对是正整数，对，若，若能被能被n整除，则称整除，则称 a 与与 b 模模 n 同余同余，记为，记为 模模 n 同余是整数集同余是整数集上的等价关系，共上的等价关系，共有有n个等价类：个等价类：其中其中|,01ksnk skn=+=+它们构成了它们构成了的一个划分，实现了对整数集的一个划分，实现了对整数集合的合的分类分类功能。功能。定义定义设设是是S上的一个等价关系，我们称集合上的一个等价关系，我们称集合为为 S 对于关系对于关系的的商集商集，记为，记为。|a aS S 例例 整数集整数集对于模对于模同余关系的商集为同余关系的商集为 n,(3)(4)(6)(7)()，n