(3.3.1)--2.3.1行列式的性质-1.pdf

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1、行列式的性质行列式的性质Properties of Determinant设设211122122211mmnnnmnmaaaAaaaaaa=令令212211121212nnnmTmmmnaaaaAaaaaa=则称则称为矩阵为矩阵A的转置。的转置。TA行列式行列式称为行列式称为行列式的转置行列式的转置行列式.TDDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa=D2121nnaaannaaa2211=TDnnaaa2112性质性质1 1将行列式的各行变成相应的各列将行列式的各行变成相应的各列，行列行列式的值不变式的值不变，即即说明说明行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地

2、位,因此行因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.=证明：证明：按行列式的定义按行列式的定义det(),TijDb=,1,2,ijjibai jn=其中其中1 2121 2()12(1)右边nnni iiiinii iib bb=1 2121 2()12(1)nnni iiiii ni iia aa=另一方面，按行列式的等价定义另一方面，按行列式的等价定义D可表成可表成1 2121 2()12(1)左边nnni iiiii ni iia aa=nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa=D2121nnaaannaaa2211=TDnnaa

3、a2112=几何解释不是特别容易说清楚，但讲的时候可以以思考题提出。几何解释不是特别容易说清楚，但讲的时候可以以思考题提出。个人建议个人建议性质性质2：一个数乘以行列式等于用这个数去乘行列一个数乘以行列式等于用这个数去乘行列式的某一行（或者某一列）。式的某一行（或者某一列）。111112111212121212 =nniiiniiinnnnnnnnnaaaaacccaaaaaaaaaaaaac推论推论1 1行列式中某一行（列）的公因子可以提出来。行列式中某一行（列）的公因子可以提出来。推论推论2 2若行列式中某一行（列）的元素全为零，若行列式中某一行（列）的元素全为零，则该行列式等于零。则该行

4、列式等于零。11112212112+sssssnnnnnnsnbcbcaaaabcaa+性质性质3 3若行列式中某行（列）的所有元素都可以表示若行列式中某行（列）的所有元素都可以表示为两项之和，则该行列式可表示为两个行列式之和，即为两项之和，则该行列式可表示为两个行列式之和，即12sssnccc1112112nnnnnaaaaaa=1112112nnnnnaaaaaa+12sssnbbb例如例如600300301395200199204100103600300130039520012002041003100+=600300300395200200204100100=+6003001395200

5、12041003这个也是可以在平面有几个解释，做起来挺麻烦，这个也是可以在平面有几个解释，做起来挺麻烦，讲的时候可以以思考题提出。讲的时候可以以思考题提出。个人建议个人建议性质性质4 对调行列式的任意两行（列），其值反号对调行列式的任意两行（列），其值反号,即即1112112 nnnnnaaaaaa1112112nnnnnaaaaaa12 iiinaaa12 kkknaaa12 kkknaaa12 iiinaaa=-例如例如,571571=266853.825825=361567567361266853推论推论3 3如果行列式有两行（列）完全相同如果行列式有两行（列）完全相同,则此则此行列式为零行列式为零.推论推论4 4若行列式中某两行（列）成比例，则该若行列式中某两行（列）成比例，则该行列式等于零。行列式等于零。性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaaRkRaakaaa+k