(4.1.1)--3.1.1向量空间的定义.pdf

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1、Vector spacesN维向量空间维向量空间二维空间的向量二维空间的向量:有向线段。有向线段。建立标准直角坐标系后，建立标准直角坐标系后，它由一点它由一点 或一个三元数组或一个三元数组(x,y)唯一确定。唯一确定。三维空间的向量三维空间的向量:有向线段。有向线段。建立标准直角坐标系后，建立标准直角坐标系后，它由一点它由一点 或一个三元数组或一个三元数组 唯一确定。唯一确定。我们还定义了向量的我们还定义了向量的加法加法(即平行四边形法则即平行四边形法则)和向和向量的量的数乘数乘两种运算。两种运算。建立建立直角直角坐标系的目的就是把向量的运算转化为数坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标坐

2、标)的运算的运算.),(,),(222111zyxzyx=),(212121zzyyxx+=+=+),(111kzkykxk=由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广中的向量进行推广(把几何向量代数化把几何向量代数化)。121212(,)xxyyzz=12121 2x xy yz z=+(1)(5)()(2)()()(6)()(3)0(7)()()(4)()0(8)1klklkkkk lkl+=+=+=+=+=+=1212(,)(,)nna aab bb=取定数域取定数域K，令，令用用、表示表示中的元素，并且规定中的元素，并且

3、规定12(,)|,1,2,nniKa aaaK in=nK定义定义当且仅当当且仅当1122,.nnab abab=.向量常用小写希腊字母表示向量常用小写希腊字母表示T12(,)na aa=TT,12(1,2,1)(3,0,1,1)T3(1,1,1,0)i 例例:维向量的实际意义维向量的实际意义n确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6 6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数机身的水平转角机身的水平转角)20(机身的仰角机身的仰角)22(机翼的转角机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6 6维向量维向量),(zyxa=维向量的实际

4、意义维向量的实际意义n),(zyxP在在中定义两种运算：中定义两种运算：加法加法与与数量乘法数量乘法nK12121122,nnnna aab bbab abab+=+=+1212,nnk a aaka kaka=1212,nnna aab bbK 加法加法 对任意的对任意的规定规定12,nna aaKkK数量乘法数量乘法对任意的对任意的定义定义12,=,naaa12,=,na aa（4）对任意）对任意,令令=+（3）把元素（）把元素（0,0,0）记为）记为 或或0，则则（2）（）（+）+=+（+）（1）+=+上述两种运算满足一下性质：上述两种运算满足一下性质：()+=则则这里这里。,nKk l

5、K （8）k（+）=k+k （7）（）（k+l）=k +l （5）1=（6）（）（k l）=k（l ）(1)(5)1(2)()()(6)()()(3)(7)()(4)()0(8)0)(k lklkkkklkl+=+=+=+=+=+=+=+=+定义定义由数域由数域K上的全部上的全部n元有序数组构成的集合元有序数组构成的集合，连同其上定义的加法与数量乘法两种运算及连同其上定义的加法与数量乘法两种运算及8条运算条运算性质称为数域性质称为数域K上的上的n维向量空间维向量空间，称，称中的元素中的元素为为n元元（n维）维）向量向量，其中，其中称为该向量的称为该向量的第第i个分量个分量，称称为为零向量零向量，称，称为为 的的负向量负向量。12(,)na aa=ia nKnK注注（1）行向量行向量12,na aa12naaa12,Tna aa列向量：列向量：也可记为也可记为（2）对于矩阵对于矩阵，令，令ij m nAa=12,1,2,iiiinaaaim=12,1,2,jjjmjaajna=称称为矩阵为矩阵A的的行向量组行向量组，称，称为矩阵为矩阵A的的列向量组列向量组；12,m12,n （3）减法减法()=+=+()()()kkk=（4）补充性质补充性质0k=0 或kk=