(5.6.3)--4.6.3施密特正交化法.pdf

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1、施密特正交化法施密特正交化法则则11111/k =2121211kk =。正交单位向量组的构造：正交单位向量组的构造：设设线性无关，线性无关，12,11221,=+=+=，令令考虑到要求考虑到要求，故，故21 2121 110(,)(,)k=110),(11又又，故，故。21111(,)(,)k=。从上式解得从上式解得 21111(,)(,)k=令令 11221211,|=，则则是正交单位向量组。是正交单位向量组。21,已知已知线性无关，故线性无关，故。21,2211k =12,于是于是是正交向量组。是正交向量组。定理定理设设是欧氏空间是欧氏空间中中s个线个线性无关的向量，则性无关的向量，则中

2、存在中存在s个正交的向个正交的向量量，并且，并且s,21n n 12,s 1212,ii 1,2,is=证：对证：对 s 作数学归纳法。作数学归纳法。s=1，可取，可取11=。则则为正交向量且有为正交向量且有1 11 1212,kk 。设设 s=k时结论成立，即有时结论成立，即有为正交向量组，且为正交向量组，且12,k当当s=k+1，利用，利用构造一个新的向量：构造一个新的向量：1,12,kk+1112111121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)kkkkkkkkk+=当当时，可以得到时，可以得到1ik1111(,)(,)(,)(,)(,)kkikikijijjj+=+=11(,)(,

3、)(,)0(,)kikiiiii +=从而从而与与都是正交的。都是正交的。1k+12,k由上式可以知道由上式可以知道可以被可以被线性表出，而且线性表出，而且1k+121,k +1112111121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)kkkkkkkkk+=由于由于前的系数为前的系数为1，即不为零。可得，即不为零。可得1k+10k+。可以被可以被线性表出。线性表出。1k+121,k+从而，从而，是一个正交向量组，且有是一个正交向量组，且有121,k+121121,kk +。由归纳假设，可知结论成立。由归纳假设，可知结论成立。已知已知线性无关线性无关12,s 313233121122(,)(,

4、)(,)(,)=1.正交化正交化：Gram-Schmidt正交化方法正交化方法：2122111(,)(,)=11=121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)sssssssss=2.单位化单位化：112212111,|sss=问题问题将上述正交化和单位将上述正交化和单位化过程整合为一个化过程整合为一个矩阵表达式矩阵表达式？即找到矩阵表达式？即找到矩阵表达式中的矩阵中的矩阵。1212,ssQ =Q例例已知已知中的中的将它们化成正交单位向量组。将它们化成正交单位向量组。3 1231,1,1,1,1,0,1,0,0TTT=解解1.正交化正交化:11=2122111(,)21 121,1,01,1,1,(,)33 33TTT=解解1.正交化正交化:313233121122(,)(,)(,)(,)=11 3 1 12111,0,01,1,1,036 9 3 3322TTTT=解解1.正交化正交化:2.单位化单位化1112223331111|3331112,|666111,0|22TTT=，=，则则即为所求的即为所求的中一个正交单位向量组。中一个正交单位向量组。123,3