(3.5.1)--矢量参数的CRLB定理.pdf

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1、矢量参数的矢量参数的CRLB 矢量参数的矢量参数的CRLB定理定理 计算举例计算举例1.矢量参数的矢量参数的CRLB定理定理假定假定满足正则条件满足正则条件:ln(;)pEz 0那么那么,任意无偏估计任意无偏估计的方差阵的方差阵满足下式满足下式:1()CI2ln(;)()TpE z I 对所有对所有 等号成立的条件等号成立的条件:ln(;)()()pz I (;)p z C12Tp 12ln(;)ln(;)ln(;)ln(;)Tpppppz z z z 22221121222222122222212ln(;)ln(;)ln(;)ln(;)ln(;)ln(;)ln(;)ln(;)ln(;)ln(

2、;)ppTppppppppppppp z z z z z z z z z z 满足条件满足条件的的无偏估计量无偏估计量称为有效估计量。称为有效估计量。有效估计量的方差阵为有效估计量的方差阵为ln(;)()()pz I 1()CI()I 称为费希尔称为费希尔(Fisher)信息矩阵信息矩阵2ln(;)()ijijpE z I 2.计算举例计算举例例例1:高斯白噪声中未知常数与未知噪声方差的高斯白噪声中未知常数与未知噪声方差的CRLB0,1,.,1iizAwiNiw其中其中是均值为零、方差为是均值为零、方差为 2高斯白噪声序列高斯白噪声序列,A和和 2均未知。均未知。解：令解：令则则2222222

3、22 2ln(;)ln(;)ln(;)()ln(;)ln(;)()TpppAAEEppA z z z I z z 2TA120ln(;)1()NiipzAAz 222ln(;)pNA z 21240ln(;)1()NiipzAA z 122201ln(;)ln 222NiiNpzA z 122240ln(;)1()22NiipNzA z 21240ln(;)1()NiipzAA z 2122 2460ln(;)1()()2NiipNzA z 122201ln(;)ln 222NiiNpzA z 所以所以222ln(;)pNEAz 2212240ln(;)ln(;)1()0NiippEEE zA

4、AA z z 212224602464ln(;)1()()222NiipNEE zANNN z 因此，费希尔（因此，费希尔（Fisher）信息矩阵为）信息矩阵为240()02NNI 2()Var AN2140()20NN I422()VarN例例2:高斯白噪声中正弦参数的估计高斯白噪声中正弦参数的估计0 cos(2)0,1,.,1z nAf nw nnN 其中其中wn是零均值高斯白噪声，方差为是零均值高斯白噪声，方差为 2，0,A f为待估计的未知常数。为待估计的未知常数。解：解：令令1230TTAf 0;cos(2)s nAf n那么那么,122201ln(;)ln(2)(;)22NnNpz

5、 ns n z 120ln(;)1;(;)Nniips nz ns nz 22112200ln(;)1;1;(;)NNnnijijijps ns ns nz ns n z 2120ln(;)1;()Nijnijijps ns nE z I 当当f0不在不在0或或1/2附近时附近时,有有1122222001220/2001()020/2NNnnNnNAnAnAnNAI 22()Var AN02212()(2)(1)Var fN N 2(21)()(1)NVarN N 222A由此可见由此可见,频率估计的精度对数据长度比较敏感。频率估计的精度对数据长度比较敏感。小结：小结：1.矢量参数的矢量参数的CRLB定理定理1()CI2ln(;)()TpE z I 2ln(;)()ijijpE z I 费希尔信息矩阵费希尔信息矩阵2.2.计算举例计算举例例例1:1:高斯白噪声中未知常数与未知方差高斯白噪声中未知常数与未知方差240()02NNI 1122222001220/2001()020/2NNnnNnNAnAnAnNAI 例例2:高斯白噪声中信号参数估计高斯白噪声中信号参数估计-正弦信号正弦信号2120ln(;)1;()Nijnijijps ns nE z I 小结：小结：