(6.9.1)--5.9相似矩阵及二次型要点总结.pdf

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1、Fifth Chapter第5章-相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型知识点总结IX向量的内积相似矩阵及二次型知识点特征值与特征向量相似矩阵与对角化二次型内积定义内积性质正交向量组正交矩阵标准正交化相似矩阵矩阵对角化对称阵对角化二次型标准形正定二次型特征值特征向量特征方程计算方法正交：x,y=0；1.向量的内积向量的内积：向量的内积为正交向量组：一组两两正交的非零向量。1212TTnnxyxxxyyy,1122=x,yxyTnnx yx yx y。向量的长度：,|x|=1时，x 为单位向量。222120 xx,xnxxx正交矩阵：ATA=E。正交变换：P是正交矩阵，线性变换y=Px 为正交变换。注

2、：零向量与任何向量都正交。内积的性质：1.向量的内积 x,y =y,x；x+y,z =x,z +y,z；x,x 0,当x=0 时,x,x=0。注：施瓦兹不等式x,y2 x,xy,y。x x长度的性质：当 x0时，|x|0;当 x=0时，|x|=0；,=,x y x y正交矩阵的性质：(1)方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交。(2)A的列（行）向量组构成Rn的标准正交基。(3)若A是正交阵，则A1也是正交阵，且|A|=1或1。(4)若A和B是正交阵，则AB也是正交阵。基或向量组的标准正交化：1.向量的内积第一步：正交化，设 a1,ar是向量空间V 中的一个基，令11

3、;ba121121112211,2,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbbr。()第二步：单位化，令112212111|rrrebebebbbb,。2.特征值与特征向量性质：,数l l为A的特征值；x称为A定义：若0l（）Axxx,对应于特征值的特征向量。(1)n阶矩阵A在复数范围内有n个特征值(重根按重数计算);(2)设n阶矩阵A的特征值为l l1,l l2,l ln，则l l1+l l2+l ln=a11+a22+ann;l l1l l2l ln=|A|。(3)不同特征值的特征向量线性无关;(4)l l1和l l2是方阵A的两个特征值，1,2,s和1,2,t分别对应于

4、l l1和l l2的线性无关的特征向量,则1,2,s和1,2,t线性无关。2.特征值与特征向量特征值的求法：(1)定义法;(2)特征方程法：由特征方程|Al lE|=0 求出特征值l l。特征向量的求法：(1)定义法;(2)(Al lE)x=0 的基础解系法。注:若l l 是A的特征值，则(1)l lk是 Ak的特征值，j j(A)的特征值为j j(l l);(2)当 A 可逆时，1/l l是A1的特征值。3.相似矩阵若P-1AP=B，则A和B相似。相似矩阵：几个结论：(4)n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A 有n个线性无关的特征向量。(5)如果n阶矩阵A的n个特征值互

5、不相等，则A 与对角阵相似。判断判断矩阵能矩阵能否对角化否对角化(1)若A与B 相似，则A和B的特征多项式和特征值都相同。12ndiaglll12,nl ll，(2)若 A 与对角阵相似，则为A 的n个特征值。j(3)若 A 与 B 相似，则j j(A)和j j(B)相似。若 A 与对角阵相似，则矩阵多项式j j(A)与相似。3.相似矩阵一般矩阵 A 对角化方法：(1)求出 A 的全部特征值和全部线性无关的特征向量。对称矩阵的性质：(1)对称矩阵的特征值为实数。(2)对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交。PAPP1(2)以全部线性无关特征向量为列向量构造可逆矩阵,以A全部特征值为主对角元构造

6、对角阵，则。3.相似矩阵对称矩阵的几个结论：(1)A为对称矩阵，则必有正交阵 P，P1AP=PTAP=。即对称矩阵必可对角化，且可用正交变换。(2)对称矩阵的k重特征值必有k个线性无关的特征向量。对称矩阵对角化方法：(1)求出 A 的全部互不相等的特征值l l1,l l2,l ls,其重数依次为k1,k2,ks（k1+k2+ks=n）。）。(2)对每个ki重特征值l li,求(Al liE)x=0的基础解系,得ki个线性无关的特征向量,将其正交单位化,最终得到n 个两两正交的单位特征向量。(3)用n个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，有P1AP=PTAP=。4.二次型二次型：2221211

7、 1222(,)nnnnf x xxa xa xa x12 1213 1 31,1222nnnna x xa x xaxx标准形：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（法式）。标准形的系数只在1,1,0三个数中取值。规范形：矩阵形式：12,(,)TTijn nijjinx xx,(),fx AxA=aaax合同：A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足CTAC=B。正（负）定二次型：相应的，对称矩阵A是正定(负定)的。如果对任何 x 0,f=xTAx 0（0）；正（负）惯性指数：标准形中正（负）系数的个数。A为对为对称矩阵称矩阵4.二次型几个结论：（1）任给二次型 f(x)=xTAx，存在正交

8、变换 x=P y，使 f 化为标准形f(P y)=l l1y12+l l2y22+l lnyn2，其中l l1,l l2,l ln是A的特征值。（2）任给二次型 f(x)=xTAx（其中AT=A），总存在可逆变换x=Cz，使 f(Cz)为规范形。二次型化为标准形的方法：（1）正交变换法（2）配方法4.二次型判断二次型及矩阵为正定的方法：（1）f=xTAx正定的充分必要条件是标准形的n个系数全为正。赫尔维茨定理（2）对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正。对称矩阵A为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即1111(1)0.(1,2,)rrrrraarnaa。11111121121221000nnnnaaaaaAaaaa。,（3）对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式都为正。即谢谢，再见！