(5.1.1)--最大似然估计.pdf

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1、最大似然估计最大似然估计 定义定义 计算实例计算实例1.1.最大似然估计的定义最大似然估计的定义0(;)pzz观测给定后观测给定后,称为似然函数称为似然函数argmax(;)mlpz(;)|maxmlpz0(;)pzz0合理性的解释合理性的解释:argmaxln(;)mlpzln(;)|maxmlpz如果似然函数对如果似然函数对 的导数存在的导数存在,那么那么,通过求导并令通过求导并令其为其为零可零可求得最大似然估计。求得最大似然估计。(;)|0mlpzln(;)|0mlpz或或最大似然方程最大似然方程注意注意：最大：最大似然方程只是最大似然估计的必要条件。似然方程只是最大似然估计的必要条件。

2、如果待估计量是如果待估计量是维的矢量维的矢量，最大似然估计最大似然估计的定义是类似的。的定义是类似的。1pargmax(;)mlpz(;)|maxmlp z 或或对应的最大似然方程为对应的最大似然方程为1(;)|mlpp z 01ln(;)|mlpp z 0或或如果有效估计量存在如果有效估计量存在,这个有效估计这个有效估计量量一定一定是最大似然估计。是最大似然估计。这是因为，有效估计量满足如下关系：这是因为，有效估计量满足如下关系：ln(;)()()pI z而最大似然估计也满足最大似然方程，而最大似然估计也满足最大似然方程，ln(;)|0mlpz所以，所以，()()0mlmlmlI 12220

3、1ln(;)ln(2)()22NiiNpzA z 2212012240ln(;)1001()2mlmlNiiNiA AipNzANNzAN z 12201()mlNmliizAzzN例例1:设有设有N次独立观测次独立观测zi=A+wi，i=0,1,N-1，其中其中wi是均值为零、方差为是均值为零、方差为 2的高斯的高斯白噪声序列，白噪声序列，求求A和和 2的最大似然估计。的最大似然估计。解解:2TA令令2.计算实例计算实例120ln(;)1()NnpAz nAs n s nAz11200 /NNmlnnAz n s ns n122201ln(;)ln(2)()22NnNpAz nAs n z解

4、解:例例2 2：未知：未知信号幅度的估计信号幅度的估计,设有设有N N次独立观测次独立观测其中其中wn是方差为是方差为 2 2的高斯的高斯白噪声序列，白噪声序列，2 2已知已知,求求A的最大似然估计。的最大似然估计。0,1,.,1z nAs nw nnN例如例如正弦信号正弦信号幅度的估计幅度的估计0 cos(2)z nAf nw n 0,1,.,1nN100cos(42)Nnf nN 利用了如下近似关系：利用了如下近似关系：当当f0不在不在0 0或或1/21/2时时110100011220000 ()cos(2)2()cos(2)cos(2)NNNnnNNnnnz n s nz nf nAz

5、nf nNs nf n例例3 3:正弦相位的估计正弦相位的估计0 cos(2)z nAf nw n 0,1,.,1nN122020ln(;)1ln(2)(cos(2)22NnpNz nAf n z解解:10020ln(;)1(cos(2)sin(2)Nnpz nAf nAf n z1001100000 sin(2)cos(2)sin(2)sin(42)2NmlnNNmlmlmlnnz nf nAAf nf nf n 令导数等于零令导数等于零,可得可得100201(cos(2)sin(2)0Nmlmlnz nAf nAf n11000011 sin(2)sin(42)2NNmlmlnnAz nf

6、 nf nNN 1001 sin(2)0Nmlnz nf nN当当不在不在0 0或或1/21/2附近时附近时0f1001sin(42)02NmlnAf nN 所以所以110000 sin(2)cos cos(2)sinNNmlmlnnz nf nz nf n 100100()sin2arctan()cos2NnmlNnz nf nz nf n 0f不在不在0 0或或1/21/2附近附近小结：小结：1 1.最大似然估计的定义最大似然估计的定义2.2.计算计算实实例例矢量估计：高斯白噪声中未知常数与方差的估计；矢量估计：高斯白噪声中未知常数与方差的估计；信号参数估计：信号幅度、正弦信号相位的估计。信号参数估计：信号幅度、正弦信号相位的估计。argmax(;)mlpzargmaxln(;)mlpz(;)|0mlpzln(;)|0mlpz或或最大似然方程最大似然方程