数值分析知识内容 (25).pdf

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1、第 5 章 函数逼近 5.1 引言 所谓函数逼近问题，就是利用最简单的函数来代替复杂函数.它来源于数学的理论研究之中，又促进了纯数学和应用数学的发展.在应用数学中，函数逼近论已成为数值分析的基本工具和方法之一.1、科学计算中的两类逼近问题（1）关于数学函数的逼近问题.由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算数学函数（例如xxf)(，xexf)(等在有限区间上计算）必须用其它简单的函数来逼近（例如用多项式来逼近数学函数），且用它来代替原来精确的数学函数的计算.（2）建立实验数据的数学模型.给定函数的实验数据，需要用较简单和合适的函数（例如多项式）来逼近（或拟合实验数据）.例如第 5 章

2、的美国人口预测问题，利用表 5-1 从 1940 年到 1990 年的人口数据，建立数学模型，进而可以推测 1930 年、1965 年、2010 年的人口.2、已学过的多项式逼近方法 设给定函数)(xf，求多项式)(xPn，使在给定区间,ba上，)(xPn逼近于)(xf.（1）用插值多项式逼近函数.在第 5 章中，我们讨论的插值法就是一种函数逼近，它要求逼近函数（插值多项式）在插值节点处完全吻合给出的被插值函数的数据.（2）用在0 xx 点的 Taylor 多项式逼近函数.当,)(1baCxfn时，)(xPn就是Taylor 展开多项式的n项和.例 1 对被逼近函数xxf)(，在区间0,1上求

3、形如xaaxP101)(的逼近函数.解 1）插值方法.以00 x，11x为插值节点对)(xf作线性插值，得到xxP)(1.2）Taylor 展开方法.用在5.00 x点展开的 1 次 Taylor 多项式逼近)(xf，得到2/)5.0(2)(1xxP.两种方法作为函数逼近的局限性在于：前者只对一些性质较好的函数，)(xPn收敛于)(xf；后者必须在0 xx 附近时，有)(xPn收敛于)(xf.3、函数逼近的基本问题 本章讨论的函数逼近的基本问题为：从指定的函数类中求一个函数，使它在某种意义下“最接近于”某个给定的函数.即，设)(xf为,ba上的连续函数，求一个近似函数（多项式)(xPn），使在

4、,ba上误差)()(xPxfn在某种度量意义下最小.本章研究最佳一致意义和最佳平方意义下的多项式逼近问题.（1）最佳一致逼近（即范数意义下的最佳逼近）.设,)(baCxf，以)()(max)()(xPxfxPxfnbxan 作为度量误差的“大小”标准.寻求次数n的多项式nnHxP)(*，使最大误差达到最小，即)()(min)()()(*xPxfxPxfnHxPnnn 或)()(maxmin)()(max)(*xPxfxPxfnbxaHxPnbxann.此时称)(*xPn为,ba上)(xf的最佳一致逼近多项式.（2）最佳平方逼近（即 2-范数意义下的最佳逼近）.设,)(baCxf，)(x为定义在

5、,ba上的权函数(Weight Function).以均方误差 2/122)()()()()(dxxPxfxxPxfnban 作为度量误差的“大小”标准.寻求次数n的多项式nnHxP)(*，使均方误差达到最小，即 2)(2*)()(min)()(xPxfxPxfnHxPnnn 或2/12)(2/12*)()()(min)()()(dxxPxfxdxxPxfxnbaHxPnbann.此时称)(*xPn为,ba上)(xf的最佳平方逼近多项式.对于例 1 中的函数xxf)(.利用连续函数的最佳一致逼近求形如xaaxP101)(的逼近函数，得到8/1)(*1 xxP.利用连续函数的最佳平方逼近求形如x

6、aaxP101)(的逼近函数为15454)(*1xxP.可见，对同一个被逼近函数，不同度量意义下的逼近，逼近函数是不同的.（3）离散数据的最小二乘法（即离散情形的最佳平方逼近）.设已知)(xfy 的实验数据 x 1x 2x mx)(xfy 1y 2y my 寻求次数n的多项式nnHxP)(*，使误差（或带权误差）的平方和达到最小，即 22)(22*)()(min)()(xPxfxPxfnHxPnnn 或21)(2*1)()()(min)()()(inimiiHxPinimiixPxfxxPxfxnn.此时称)(*xPn为实验数据的最小二乘逼近函数，或称为实验数据的最小二乘拟合多项式，或称为)(xfy 的经验公式.对于给定的)(xf，需要讨论的问题为：在各种度量意义下最佳逼近多项式nnHxP)(*是否存在、是否唯一；如何具体寻求或构造各种最佳逼近意义下的多项式)(*xPn.