(1.6.2)--1.3.2复变函数的极限与连续.pdf

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1、教学目的教学目的：理解并掌握复变函数极限和连续性的定义，会求复变函数在一点的极限，会判断复变函数在一点的连续性.知识梳理：知识梳理：一、复变函数的极限1.设复变函数)(zfw 在0z的去心邻域00zz内有定义，如果有一个确定的复数A，对于任意给定的正数，总存在正数，当00zz时，恒有 Azf)(成立，那么称A为当z趋向于0z时函数)(zf的极限，记作Azfzz)(lim0.2.几何意义：当变点z在0z的一个充分小的邻域时，它们的象点就在A的一个给定的邻域.3.由于0z是复平面上的点，z可以以任意方式趋近于0z，但无论z从什么方向，以何种方式趋近于0z，)(zf的值总是趋近于同一个常数A.4.复

2、变函数极限的性质：当Azfzz)(lim0，Bzgzz)(lim0时，有（1）BAzgzfzz)()(lim0，（2）BAzgzfzz)()(lim0，（3）BAzgzfzz)()(lim0(0B).5.复变函数极限的计算（1）设函数),(i),()(yxvyxuzf，00vuAi，000yxzi，则Azfzz)(lim0的充要条件是0),(lim00uyxuyyxx，0),(lim00vyxvyyxx.（2）要使)(limzfzz0存在，z以任意方式趋近于0z，)(zf的值总是要趋近于同一个常数.如果z以某种方式趋向于0z时极限不存在，或z以某两种方式趋向于0z时极限不相等，则可断定)(li

3、mzfzz0不存在.二、复变函数的连续性1.若)()(lim00zfzfzz，则称函数)(zf在0z处连续.若)(zf在区域 D 中每一点连续，则称函数)(zf在 D 内连续.2.函数),(i),()(yxvyxuzf在000yxzi处连续的充要条件是：),(yxu和),(yxv在),(00yx处连续.3.已知函数)(zf与)(zg在0z处连续，则两个函数)(zf与)(zg的和、差、积、商（分母在0z处不为零）在0z处仍连续.4.已知函数)(zgh 在0z处连续，函数)(hfw 在)(00zgh 处连续，则复合函数)(zgfw 在0z处仍连续.5.由此可知，幂函数nzw(n为正整数)与更一般的

4、多项式nnzazazaazPw.)(2210是复平面上的连续函数.6.有理函数mmnnzbzbzbbzazazaazRw.)(22102210除了使分母为 0 的点外，在复平面上也处处连续.7.在有界闭区域D上连续的函数)(zf在该区域上是有界的，即存在正数M，使Mzf)(.同理，在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数，在该曲线或曲线段上也是有界的.例题讲解：例题讲解：例例 1 1问函数zzzf)(在0z处有无极限？解解令yxzi，则22222222222ii)()(yxxyyxyxyxyxz zzzzzf，当z沿直线kxy 趋向于 0 时，22222222022220011kkxkx

5、xkxyxyxyxuxkxyxkxyxlimlim),(lim，该极限随着k的变化而变化，所以),(limyxuyx00不存在.根据定理 1.1，)(limzfz0不存在（类似地，可以说明),(limyxvyx00也不存在）.例例 2 2求证函数zarg在原点与负实轴不连续.证证对于原点，因为其辐角不确定，因此zarg在原点处不连续；对于负实轴上任意一点0z，arg0z，当z从上半平面趋向于0z时，zarg趋于，而当z从下半平面趋向于0z时，zarg趋于，所以zzzarglim0不存在，从而zarg在负实轴不连续.重难点注记：重难点注记：重点：复变函数的极限、连续与实部、虚部相对应的二元函数之间的等价关系；难点：正确掌握复变函数的极限与一元实变函数的形式的相似而含义的不同，复变函数的极限比一元实变函数的极限要求更苛刻.知识点总结：知识点总结：1.复变函数),(i),()(yxvyxuzf在一点处的极限存在等价于它的实部),(yxu、虚部),(yxv在该点处极限同时存在；2.复变函数的连续等价于它的实部、虚部同时连续.