(6.4.2)--6.2.3广义Fourier变换对.pdf

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1、教学目的：教学目的：理解广义 Fourier 变换的概念，牢记常用的 Fourier 变换对.知识梳理：知识梳理：一、单位脉冲函数的 Fourier 变换根据 Fourier 变换的定义和单位脉冲函数的筛选性质，可以求出函数的 Fourier 变换：)(=)(tFF10-=e=de)(=i+ittttt可见，单位脉冲函数)(t与常数构成了一个 Fourier 变换对同理，)(0-tt与0-tie也构成了一个 Fourier 变换对二、广义 Fourier 变换的概念根据 Fourier 变换的定义，要求函数)(tf满足 Fourier 积分定理的条件，才存在对应的Fourier 变换然而在物理

2、学和工程技术中，有许多简单、常用的函数却不能满足 Fourier 积分定理中的绝对可积条件-+d)(+ttf，如常数、单位阶跃函数、符号函数以及正、余弦函数等，这无疑就限制了 Fourier 变换的应用那么就要引入广义 Fourier 变换的概念前面已经推得，单位脉冲函数)(t与常数构成了一个 Fourier 变换对需要注意的是，这里)(t的 Fourier 变换仍旧采用 Fourier 变换古典定义的形式，但此时的广义积分已经不是普通意义下的积分值，而是根据函数的定义和性质直接给出的，所以称函数的 Fourier变换为广义 Fourier 变换广义 Fourier 变换的定义与古典意义下的

3、Fourier 变换的定义在形式上完全相同 运用这一概念，就可以很方便的得到工程技术上许多重要函数的 Fourier 变换三、常用的 Fourier 变换对1.)(t与；2.与)(2；3.)(tu与)(+i1；4.)00,e0,0（tttft与.-22i例题讲解：例题讲解：例例 6.96.9求下列函数的 Fourier 变换：（）；（）t0ie；（）t0cos解解根据（6-6）式、（6-11）式及函数的性质，有（）=1F)(=)(=de+itt2-2-（）=te0iFtttttde=dee+)i(+ii-00)(=)(=00-2-2（）利用欧拉公式，有=cos0tFtttdcose+i-0-t

4、tttde)e+(e=+iii-0021tttde+(e=+)+(i)(i-)2100)+(+)(=00-同理可得，=sin0tF)()+(i00-例例 2 2证明单位阶跃函数=)(tu?的 Fourier 变换为)(+i1证证若)(=)(tfFF)(+i=1，则-1)(=)(FtfFtde)(+i=+i-121ttde)(+dei=+i+i-211212110+dsin=+t，由20=dsin+，得=dsin+t02?2-?，于是当0t时，得-1)(=)(FtfF=+dsin=+2110t?)(=tu重难点注记：重难点注记：重点：广义 Fourier 变换的概念；难点：利用单位脉冲函数的筛选性质求函数的广义 Fourier 变换.知识点总结：知识点总结：四对常用的 Fourier 变换对：1)(t；)(21；)(tu)(+i1；i10,e0,0tttft.