(2.3.2)--2.1.3复变函数可导性与解析性的判定.pdf

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1、教学目的：教学目的：掌握复变函数可导性和解析性的判定方法.知识梳理：知识梳理：一、一点处可导的充要条件 定理 设函数()(,)i(,)f zu x yv x y定义在区域 D 内，则()f z在 D 内一点izxy可导的充要条件是：(1)(,)u x y与(,)v x y在点(,)x y可微；(2)(,)u x y与(,)v x y在点(,)x y满足柯西-黎曼方程（简称 C-R 方程）：uvxy，uvyx.并且可以得到函数()(,)i(,)f zu x yv x y在点izxy的导数公式：()iiiiuvvvuuvufzxxyxxyyy.推论 设函数()(,)i(,)f zu x yv x

2、y定义在区域 D 内，则()f z在 D 内一点izxy可导的充要条件是：(1)(,)u x y与(,)v x y在点(,)x y的四个一阶偏导数连续；(2)(,)u x y与(,)v x y在点(,)x y满足柯西-黎曼方程：uvxy，uvyx.并且可以得到函数()(,)i(,)f zu x yv x y在点izxy的导数公式：()iiiiuvvvuuvufzxxyxxyyy.二、区域内解析的充要条件 定理 函数()(,)i(,)f zu x yv x y在区域 D 内解析的充要条件是：(1)(,)u x y与(,)v x y在区域 D 内可微；(2)(,)u x y与(,)v x y在区域

3、 D 内满足柯西-黎曼方程：uvxy，uvyx.推论 函数()(,)i(,)f zu x yv x y在区域 D 内解析的充要条件是：(1)(,)u x y与(,)v x y在区域 D 内的四个一阶偏导数连续；(2)(,)u x y与(,)v x y在区域 D 内满足柯西-黎曼方程：uvxy，uvyx.重难点注记：重难点注记：重点：复变函数可导性与解析性判定的充要条件.知识知识点总结：点总结：1.复变函数在一点满足 C-R 方程不能确保在该点可导，还需满足(,)u x y与(,)v x y在该点可微，或者(,)u x y与(,)v x y的四个一阶偏导数在该点连续.2.复变函数在区域内满足 C

4、-R 方程不能确保在该区域解析，还需满足(,)u x y与(,)v x y在该区域可微，或者(,)u x y与(,)v x y的四个一阶偏导数在该区域连续.3.若复变函数()(,)i(,)f zu x yv x y在点izxy可导，则()iiiiuvvvuuvufzxxyxxyyy.4.解析函数的判定方法：(1)如果能用求导公式与求导法则证实复变函数()f z的导数在区域 D 内处处存在，则可根据解析函数的定义断定()f z在 D 内是解析的.(2)如果复变函数()(,)i(,)f zu x yv x y中(,)u x y与(,)v x y在D内的四个一阶偏导数连续，且满足 C-R 方程，那么根据解析函数的充要条件可以断定()f z在 D 内是解析的.