(2.2.1)--第5讲矩阵的秩(2).pdf

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1、第第 5 讲讲 矩阵的秩矩阵的秩(2)5.4题题,nAm 设设是是矩矩阵阵,Bu v 是是矩矩阵阵证证明明r()r()r()r().XYAB0,0AXB 0.0AYB 证证明明mGn那那么么存存在在阶阶可可逆逆矩矩阵阵和和 阶阶r(),Ar 设设,r()Bs 设设uPv那那么么存存在在 阶阶可可逆逆矩矩阵阵和和 阶阶可可逆逆矩矩阵阵,H可可逆逆矩矩阵阵使使得得000.rIGAH 使使得得000.sIPBQ,Q令令,G H P Q因因为为都都是是可可逆逆矩矩阵阵.可可逆逆矩矩阵阵0,0uGCI 0,0vHDI 0,0mIKP 0.0nILQ,C D K L所所以以也也都都是是因因为为000000

2、0000mnuvGHIAIKCXDLIIPBQ 00GAHPBQ 00000000000000rsII,T,C D K L所所以以由由是是可可逆逆矩矩阵阵可可得得r()r().XT 00000000000000rsIIT 0,00r sI 所所以以r()r()XT 又又因因为为00000000000000rsIIrsr()r().AB,1,vvY 列列与与其其左左边边的的 个个列列将将第第依依次次互互换换的的2,vv 列列与与其其左左边边的的 个个列列依依次次互互换换第第,vnv 列列与与其其左左边边的的 个个列列依依次次互互换换第第vn经经过过次次列列,的的互互换换.X得得到到的的矩矩阵阵为

3、为下下面面证证明明r()r().YX 于于是是00.00AAYXBB,因因此此r()r()r()r().YXAB r()r().ABB 证证明明.0nIA的的简简化化证证阶阶梯梯形形为为明明r().An 5.5题题,Amn 设设是是矩矩阵阵,Bns 如如果果是是矩矩阵阵(2)(1),nn mG 证证明明存存在在秩秩为为 的的矩矩阵阵.nGAI 使使得得(3),因因此此.TA设设是是的的简简化化阶阶梯梯形形(1,1),(2,2),(,)Tn n的的元元元元元元都都.n有有 个个主主元元.有有主主元元,Tn又又因因为为 的的列列数数为为证证明明.其其余余元元素素都都等等于于零零(1)这这就就意意味

4、味着着r(),An 因因为为.0nIT T所所以以T的的每每所所以以个个列列上上都都1,为为,mP所所以以存存在在阶阶可可逆逆矩矩阵阵.PAT 使使得得(2),GPn其其中中是是由由 的的上上面面 个个行行构构成成的的块块,PGH HP是是由由 的的下下面面.mn 个个行行构构成成的的块块.Gnm 于于是是是是矩矩阵阵,0nIT A的的简简化化因因为为阶阶梯梯形形为为P将将分分块块为为nmG 所所以以矩矩阵阵满满足足.nGAI 0nAITP r()r()nnIGAr()G,n,GGAAHHA因因为为因因为为.Gn的的秩秩等等于于所所以以 ,因因此此存存在在r()r().ABB r()r()BGA B ns 对对于于(3),Amn 设设是是矩矩阵阵r().An,nn mG 秩秩为为 的的矩矩阵阵,于于是是我我们们有有,B矩矩阵阵r()AB r().B r()G AB 2,由由第第 小小题题可可知知.nGAI 使使得得