通信原理通信原理通信原理 (66).pdf

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1、1/3 例 1 设有随机序列，其元素以独立等概方式取值于1。求此序列的均值E、二阶矩E2、自相关函数()=E+。解：均值是E=(+1)12+(1)12=0。二阶矩是E2=1。自相关函数是E+，当 =0 时，E+=E2=1；0 时，E+=E+E=0，因此 ()1,0=E00,an mnmRmaam+=(1)例 2 设有随机序列，其元素以独立等概方式取值于0,1。构造一个序列，其中=1，其中表示模二加（比特异或）。证明：序列的元素以独立等概方式取值于0,1。证：当1=0时，=0=，此时取 0 或 1 的概率都是 1/2；当1=1时，=1=是的二进制反，此时取 0 或 1 的概率也都是 1/2。由此

2、可知：首先，以等概方式取值于 0、1；其次，无论1取什么，取 0 或 1 的概率都不受1取值的影响，即与1独立。根据=1可以写出1=1 2，代入=1后得到=1 2。按照与前面类似的方法分析，可以得知与2独立。依此类推，可以得知：序列中任意两个不相同的元素相互独立。例 3 设()()nnX tatnT=，其中序列的元素以独立等概方式取值于1。求()的均值、自相关函数、平均自相关函数、功率谱密度。解：()的均值是 ()()()EEE0nnnnX tatnTatnT=()的自相关函数是 ()()()()()()()()12121212EEEEnknkknnkknnkX tX tatnTatkTa a

3、tnTtkTa atnTtkT=(2)将式(1)代入式(2)：2/3 ()()()()1212EnX tX ttnTtnT=(3)在式(3)中取1=+、2=：()()(),XnRtttnTtnT=+=+(4)利用狄拉克冲激的性质可得 ()()()()(),XnnRttnTnTtnTtnT=+=+=(5)对上式求关于的时间平均。式中的()ntnT=是周期信号，按其一个周期2,2取平均得到()1ntnTT=。因此()的平均自相关函数是 ()()()1,XXRRttT=+=(6)功率谱密度是平均自相关函数的傅氏变换：()1XPfT=(7)例 4 设()=()cos2c，其中()是零均值平稳过程，已知

4、其自相关函数是()。求()的均值、平均功率、自相关函数、平均自相关函数。解：()的均值是()()()ccEEcos2Ecos20s tm tf tm tf t=自相关函数是 ()()()()()()()121c 12c 212c 1c 212c 1c 2EEcos2cos2Ecos2cos2cos2cos2ms ts tm tf t m tf tm tm tf tf tRttf tf t=(8)取1=+、2=：()()()ccc,cos2cos2124smRttRff tf+=+(9)对上式求关于的时间平均：()()()c1,cos22ssmRRttRf=+=(10)代入=0得到平均功率为12

5、(0)。3/3 例 5 设()=2 cos(2+)，其中等概取值于0,。求()的的均值、平均功率、自相关函数、平均自相关函数。解：()是从两个样本函数2 cos(2)和2 cos(2+)=2 cos(2)中随机抽一个，抽到任何一个的机会相同。由于这两个样本函数是反相关系，所以其统计平均是零，即E()=0。每个样本函数的平均功率都是222=2，所以随机过程()的平均功率是 2。自相关函数是(1)(2)的统计平均。抽到2 cos(2)时，()()()()()()1212122cos 22cos 24cos 2cos 2X tX ttttt=(11)抽到2 cos(2)时，()()()()()()1212122cos 22cos 24cos 2cos 2X tX ttttt=(12)无论抽到哪个，(1)(2)都一样。自相关函数为 ()()()1212,4cos 2cos 2XRt ttt=(13)取1=+、2=：()(),2 cos2cos 42XRttt+=+(14)对上式求关于的时间平均：()(),2cos2XXRRtt=+=(15)